---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma rat-complex-boundary-subdiv


1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. c : ℚCube(k)
6. ↑Inhabited(c)
7. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
8. ↑in-complex-boundary(k;c;(K)')
9. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
10. ↑isOdd(||filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')||)
11. a : ℚCube(k)
12. u : ℚCube(k)
13. (a ∈ K)
14. ↑is-half-cube(k;u;a)
15. c ≤ u
16. dim(a) = n ∈ ℤ
17. ↑Inhabited(a)
18. dim(u) = dim(a) ∈ ℤ
19. ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;c;d)) ∧ d ≤ a)
20. ∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';a)) ⇒ c ≤ b' ⇒ (b' = u ∈ ℚCube(k)))
⊢ ∃a:ℚCube(k). (((↑in-complex-boundary(k;a;K)) ∧ (dim(a) = (n - 1) ∈ ℤ)) ∧ (↑is-half-cube(k;c;a)))
BY
{ (D -2 THEN ExRepD THEN (FLemma `half-cube-dimension` [-4] THENA Auto)) }

1
.....wf..... 
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. c : ℚCube(k)
6. ↑Inhabited(c)
7. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
8. ↑in-complex-boundary(k;c;(K)')
9. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
10. ↑isOdd(||filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')||)
11. a : ℚCube(k)
12. u : ℚCube(k)
13. (a ∈ K)
14. ↑is-half-cube(k;u;a)
15. c ≤ u
16. dim(a) = n ∈ ℤ
17. ↑Inhabited(a)
18. dim(u) = dim(a) ∈ ℤ
19. d : ℚCube(k)
20. ↑is-half-cube(k;c;d)
21. d ≤ a
22. ∀y:ℚCube(k). (((↑is-half-cube(k;c;y)) ∧ y ≤ a) ⇒ (y = d ∈ ℚCube(k)))
23. ∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';a)) ⇒ c ≤ b' ⇒ (b' = u ∈ ℚCube(k)))
⊢ d ∈ {c:ℚCube(k)| ↑Inhabited(c)} 

2
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. c : ℚCube(k)
6. ↑Inhabited(c)
7. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
8. ↑in-complex-boundary(k;c;(K)')
9. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
10. ↑isOdd(||filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')||)
11. a : ℚCube(k)
12. u : ℚCube(k)
13. (a ∈ K)
14. ↑is-half-cube(k;u;a)
15. c ≤ u
16. dim(a) = n ∈ ℤ
17. ↑Inhabited(a)
18. dim(u) = dim(a) ∈ ℤ
19. d : ℚCube(k)
20. ↑is-half-cube(k;c;d)
21. d ≤ a
22. ∀y:ℚCube(k). (((↑is-half-cube(k;c;y)) ∧ y ≤ a) ⇒ (y = d ∈ ℚCube(k)))
23. ∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';a)) ⇒ c ≤ b' ⇒ (b' = u ∈ ℚCube(k)))
24. dim(c) = dim(d) ∈ ℤ
⊢ ∃a:ℚCube(k). (((↑in-complex-boundary(k;a;K)) ∧ (dim(a) = (n - 1) ∈ ℤ)) ∧ (↑is-half-cube(k;c;a)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  K  :  n-dim-complex
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
6.  \muparrow{}Inhabited(c)
7.  dim(c)  =  (n  -  1)
8.  \muparrow{}in-complex-boundary(k;c;(K)')
9.  dim(c)  =  (n  -  1)
10.  \muparrow{}isOdd(||filter(\mlambda{}c@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')||)
11.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
12.  u  :  \mBbbQ{}Cube(k)
13.  (a  \mmember{}  K)
14.  \muparrow{}is-half-cube(k;u;a)
15.  c  \mleq{}  u
16.  dim(a)  =  n
17.  \muparrow{}Inhabited(a)
18.  dim(u)  =  dim(a)
19.  \mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;c;d))  \mwedge{}  d  \mleq{}  a)
20.  \mforall{}b':\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;b';a))  {}\mRightarrow{}  c  \mleq{}  b'  {}\mRightarrow{}  (b'  =  u))
\mvdash{}  \mexists{}a:\mBbbQ{}Cube(k).  (((\muparrow{}in-complex-boundary(k;a;K))  \mwedge{}  (dim(a)  =  (n  -  1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-cube(k;c;a)))


By

---

Latex:
(D  -2  THEN  ExRepD  THEN  (FLemma  `half-cube-dimension`  [-4]  THENA  Auto))

---

Home Index