---

Step * 1 of Lemma sbcode-mul


1. m : ℕ
2. ∀m:ℕm. ∀[n:ℕ]. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
3. n : ℕ
4. ∀n:ℕn. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
5. 0 < m
6. 0 < n
7. k : ℕ+
⊢ if (k * m) < (k * n)
     then [0 / sbcode(k * m;(k * n) - k * m)]
     else if (k * n) < (k * m)  then [1 / sbcode((k * m) - k * n;k * n)]  else []
= if (m) < (n)  then [0 / sbcode(m;n - m)]  else if (n) < (m)  then [1 / sbcode(m - n;n)]  else []
∈ (ℕ2 List)
BY
{ xxxRepeatFor 2 (AutoSplit)xxx }

1
1. m : ℕ
2. ∀m:ℕm. ∀[n:ℕ]. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
3. n : ℕ
4. ∀n:ℕn. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
5. 0 < m
6. 0 < n
7. k : ℕ+
8. k * m < k * n
9. m < n
⊢ [0 / sbcode(k * m;(k * n) - k * m)] = [0 / sbcode(m;n - m)] ∈ (ℕ2 List)

2
1. m : ℕ
2. ∀m:ℕm. ∀[n:ℕ]. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
3. n : ℕ
4. ¬m < n
5. ∀n:ℕn. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
6. 0 < m
7. 0 < n
8. k : ℕ+
9. k * m < k * n
⊢ [0 / sbcode(k * m;(k * n) - k * m)] = if (n) < (m)  then [1 / sbcode(m - n;n)]  else [] ∈ (ℕ2 List)

3
1. m : ℕ
2. ∀m:ℕm. ∀[n:ℕ]. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
3. n : ℕ
4. ∀n:ℕn. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
5. 0 < m
6. 0 < n
7. k : ℕ+
8. ¬k * m < k * n
9. k * n < k * m
⊢ [1 / sbcode((k * m) - k * n;k * n)]
= if (m) < (n)  then [0 / sbcode(m;n - m)]  else if (n) < (m)  then [1 / sbcode(m - n;n)]  else []
∈ (ℕ2 List)

4
1. m : ℕ
2. ∀m:ℕm. ∀[n:ℕ]. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
3. n : ℕ
4. ∀n:ℕn. (0 < m ⇒ 0 < n ⇒ (∀[k:ℕ+]. (sbcode(k * m;k * n) ~ sbcode(m;n))))
5. 0 < m
6. 0 < n
7. k : ℕ+
8. ¬k * n < k * m
9. ¬k * m < k * n
⊢ [] = if (m) < (n)  then [0 / sbcode(m;n - m)]  else if (n) < (m)  then [1 / sbcode(m - n;n)]  else [] ∈ (ℕ2 List)

---

Latex:

---

Latex:

1.  m  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}m:\mBbbN{}m.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  (0  <  m  {}\mRightarrow{}  0  <  n  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[k:\mBbbN{}\msupplus{}].  (sbcode(k  *  m;k  *  n)  \msim{}  sbcode(m;n))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  (0  <  m  {}\mRightarrow{}  0  <  n  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[k:\mBbbN{}\msupplus{}].  (sbcode(k  *  m;k  *  n)  \msim{}  sbcode(m;n))))
5.  0  <  m
6.  0  <  n
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  if  (k  *  m)  <  (k  *  n)
          then  [0  /  sbcode(k  *  m;(k  *  n)  -  k  *  m)]
          else  if  (k  *  n)  <  (k  *  m)    then  [1  /  sbcode((k  *  m)  -  k  *  n;k  *  n)]    else  []
=  if  (m)  <  (n)    then  [0  /  sbcode(m;n  -  m)]    else  if  (n)  <  (m)    then  [1  /  sbcode(m  -  n;n)]    else  []


By

---

Latex:
xxxRepeatFor  2  (AutoSplit)xxx

---

Home Index