---

Step * 2 2 2 1 1 1 of Lemma add-ipoly-ringeq


1. r : Rng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀p,q:iMonomial() List.
     (||p|| + ||q|| < n - 1 ⇒ ipolynomial-term(add-ipoly(p;q)) ≡ ipolynomial-term(p) (+) ipolynomial-term(q))
5. ∀[m:iMonomial()]. ∀[p:iMonomial() List].  ipolynomial-term([m / p]) ≡ imonomial-term(m) (+) ipolynomial-term(p)
6. u2 : ℤ-o
7. u3 : {vs:ℤ List| sorted(vs)} 
8. v : iMonomial() List
9. u4 : ℤ-o
10. u5 : {vs:ℤ List| sorted(vs)} 
11. v1 : iMonomial() List
12. ||[<u2, u3> / v]|| + ||[<u4, u5> / v1]|| < n
13. ↑imonomial-le(<u2, u3>;<u4, u5>)
14. add-ipoly(v;v1) ∈ iMonomial() List
15. add-ipoly(v;[<u4, u5> / v1]) ∈ iMonomial() List
16. ↑imonomial-le(<u4, u5>;<u2, u3>)
17. (u2 + u4) = 0 ∈ ℤ
18. f : ℤ ⟶ |r|
⊢ (ring_term_value(f;ipolynomial-term(v)) +r ring_term_value(f;ipolynomial-term(v1)))
= ((ring_term_value(f;imonomial-term(<u2, u3>)) +r ring_term_value(f;ipolynomial-term(v))) +r (ring_term_value(f;imonomi\000Cal-term(<u4, u5>)) +r ring_term_value(f;ipolynomial-term(v1))))
∈ |r|
BY
{ Assert ⌜(ring_term_value(f;imonomial-term(<u2, u3>)) +r ring_term_value(f;imonomial-term(<u4, u5>))) = 0 ∈ |r|⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. r : Rng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀p,q:iMonomial() List.
     (||p|| + ||q|| < n - 1 ⇒ ipolynomial-term(add-ipoly(p;q)) ≡ ipolynomial-term(p) (+) ipolynomial-term(q))
5. ∀[m:iMonomial()]. ∀[p:iMonomial() List].  ipolynomial-term([m / p]) ≡ imonomial-term(m) (+) ipolynomial-term(p)
6. u2 : ℤ-o
7. u3 : {vs:ℤ List| sorted(vs)} 
8. v : iMonomial() List
9. u4 : ℤ-o
10. u5 : {vs:ℤ List| sorted(vs)} 
11. v1 : iMonomial() List
12. ||[<u2, u3> / v]|| + ||[<u4, u5> / v1]|| < n
13. ↑imonomial-le(<u2, u3>;<u4, u5>)
14. add-ipoly(v;v1) ∈ iMonomial() List
15. add-ipoly(v;[<u4, u5> / v1]) ∈ iMonomial() List
16. ↑imonomial-le(<u4, u5>;<u2, u3>)
17. (u2 + u4) = 0 ∈ ℤ
18. f : ℤ ⟶ |r|
⊢ (ring_term_value(f;imonomial-term(<u2, u3>)) +r ring_term_value(f;imonomial-term(<u4, u5>))) = 0 ∈ |r|

2
1. r : Rng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀p,q:iMonomial() List.
     (||p|| + ||q|| < n - 1 ⇒ ipolynomial-term(add-ipoly(p;q)) ≡ ipolynomial-term(p) (+) ipolynomial-term(q))
5. ∀[m:iMonomial()]. ∀[p:iMonomial() List].  ipolynomial-term([m / p]) ≡ imonomial-term(m) (+) ipolynomial-term(p)
6. u2 : ℤ-o
7. u3 : {vs:ℤ List| sorted(vs)} 
8. v : iMonomial() List
9. u4 : ℤ-o
10. u5 : {vs:ℤ List| sorted(vs)} 
11. v1 : iMonomial() List
12. ||[<u2, u3> / v]|| + ||[<u4, u5> / v1]|| < n
13. ↑imonomial-le(<u2, u3>;<u4, u5>)
14. add-ipoly(v;v1) ∈ iMonomial() List
15. add-ipoly(v;[<u4, u5> / v1]) ∈ iMonomial() List
16. ↑imonomial-le(<u4, u5>;<u2, u3>)
17. (u2 + u4) = 0 ∈ ℤ
18. f : ℤ ⟶ |r|
19. (ring_term_value(f;imonomial-term(<u2, u3>)) +r ring_term_value(f;imonomial-term(<u4, u5>))) = 0 ∈ |r|
⊢ (ring_term_value(f;ipolynomial-term(v)) +r ring_term_value(f;ipolynomial-term(v1)))
= ((ring_term_value(f;imonomial-term(<u2, u3>)) +r ring_term_value(f;ipolynomial-term(v))) +r (ring_term_value(f;imonomi\000Cal-term(<u4, u5>)) +r ring_term_value(f;ipolynomial-term(v1))))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  Rng
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  \mforall{}p,q:iMonomial()  List.
          (||p||  +  ||q||  <  n  -  1
          {}\mRightarrow{}  ipolynomial-term(add-ipoly(p;q))  \mequiv{}  ipolynomial-term(p)  (+)  ipolynomial-term(q))
5.  \mforall{}[m:iMonomial()].  \mforall{}[p:iMonomial()  List].
          ipolynomial-term([m  /  p])  \mequiv{}  imonomial-term(m)  (+)  ipolynomial-term(p)
6.  u2  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
7.  u3  :  \{vs:\mBbbZ{}  List|  sorted(vs)\} 
8.  v  :  iMonomial()  List
9.  u4  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
10.  u5  :  \{vs:\mBbbZ{}  List|  sorted(vs)\} 
11.  v1  :  iMonomial()  List
12.  ||[<u2,  u3>  /  v]||  +  ||[<u4,  u5>  /  v1]||  <  n
13.  \muparrow{}imonomial-le(<u2,  u3><u4,  u5>)
14.  add-ipoly(v;v1)  \mmember{}  iMonomial()  List
15.  add-ipoly(v;[<u4,  u5>  /  v1])  \mmember{}  iMonomial()  List
16.  \muparrow{}imonomial-le(<u4,  u5><u2,  u3>)
17.  (u2  +  u4)  =  0
18.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  |r|
\mvdash{}  (ring\_term\_value(f;ipolynomial-term(v))  +r  ring\_term\_value(f;ipolynomial-term(v1)))
=  ((ring\_term\_value(f;imonomial-term(<u2,  u3>))  +r  ring\_term\_value(f;ipolynomial-term(v))) 
      +r 
      (ring\_term\_value(f;imonomial-term(<u4,  u5>))  +r  ring\_term\_value(f;ipolynomial-term(v1))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(ring\_term\_value(f;imonomial-term(<u2,  u3>))  +r  ring\_term\_value(f;imonomial-term(<u4,  u5>)))\000C  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index