---

Step * 1 2 2 1 of Lemma bpa-equiv-iff-norm


1. p : {2...}
2. EquivRel(basic-padic(p);x,y.bpa-equiv(p;x;y))
3. ∀x:basic-padic(p). bpa-equiv(p;x;bpa-norm(p;x))
4. n : {1...}
5. a : p-adics(p)
6. m : ℕ
7. b : p-adics(p)
8. p^m(p) * a = p^n(p) * b ∈ p-adics(p)
9. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
⊢ if (a n =z 0) then <0, p-shift(p;a;n)> else let k,b = p-unitize(p;a;n) in <n - k, b> fi 
= if (b m =z 0) then <0, p-shift(p;b;m)> else let k,b = p-unitize(p;b;m) in <m - k, b> fi 
∈ basic-padic(p)
BY
{ (Unfold `basic-padic` 0 THEN RepeatFor 2 (AutoSplit)) }

1
1. p : {2...}
2. EquivRel(basic-padic(p);x,y.bpa-equiv(p;x;y))
3. ∀x:basic-padic(p). bpa-equiv(p;x;bpa-norm(p;x))
4. n : {1...}
5. a : p-adics(p)
6. m : {1...}
7. b : p-adics(p)
8. p^m(p) * a = p^n(p) * b ∈ p-adics(p)
9. (a n) = 0 ∈ ℤ
10. (b m) = 0 ∈ ℤ
⊢ <0, p-shift(p;a;n)> = <0, p-shift(p;b;m)> ∈ (ℕ × p-adics(p))

2
1. p : {2...}
2. EquivRel(basic-padic(p);x,y.bpa-equiv(p;x;y))
3. ∀x:basic-padic(p). bpa-equiv(p;x;bpa-norm(p;x))
4. n : {1...}
5. a : p-adics(p)
6. m : {1...}
7. b : p-adics(p)
8. b m ≠ 0
9. p^m(p) * a = p^n(p) * b ∈ p-adics(p)
10. (a n) = 0 ∈ ℤ
⊢ <0, p-shift(p;a;n)> = let k,b = p-unitize(p;b;m) in <m - k, b> ∈ (ℕ × p-adics(p))

3
1. p : {2...}
2. EquivRel(basic-padic(p);x,y.bpa-equiv(p;x;y))
3. ∀x:basic-padic(p). bpa-equiv(p;x;bpa-norm(p;x))
4. n : {1...}
5. a : p-adics(p)
6. a n ≠ 0
7. m : {1...}
8. b : p-adics(p)
9. p^m(p) * a = p^n(p) * b ∈ p-adics(p)
10. (b m) = 0 ∈ ℤ
⊢ let k,b = p-unitize(p;a;n) in <n - k, b> = <0, p-shift(p;b;m)> ∈ (ℕ × p-adics(p))

4
1. p : {2...}
2. EquivRel(basic-padic(p);x,y.bpa-equiv(p;x;y))
3. ∀x:basic-padic(p). bpa-equiv(p;x;bpa-norm(p;x))
4. n : {1...}
5. a : p-adics(p)
6. a n ≠ 0
7. m : {1...}
8. b : p-adics(p)
9. b m ≠ 0
10. p^m(p) * a = p^n(p) * b ∈ p-adics(p)
⊢ let k,b = p-unitize(p;a;n) in <n - k, b> = let k,b = p-unitize(p;b;m) in <m - k, b> ∈ (ℕ × p-adics(p))

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \{2...\}
2.  EquivRel(basic-padic(p);x,y.bpa-equiv(p;x;y))
3.  \mforall{}x:basic-padic(p).  bpa-equiv(p;x;bpa-norm(p;x))
4.  n  :  \{1...\}
5.  a  :  p-adics(p)
6.  m  :  \mBbbN{}
7.  b  :  p-adics(p)
8.  p\^{}m(p)  *  a  =  p\^{}n(p)  *  b
9.  \mneg{}(m  =  0)
\mvdash{}  if  (a  n  =\msubz{}  0)  then  ɘ,  p-shift(p;a;n)>  else  let  k,b  =  p-unitize(p;a;n)  in  <n  -  k,  b>  fi 
=  if  (b  m  =\msubz{}  0)  then  ɘ,  p-shift(p;b;m)>  else  let  k,b  =  p-unitize(p;b;m)  in  <m  -  k,  b>  fi 


By

---

Latex:
(Unfold  `basic-padic`  0  THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit))

---

Home Index