---

Step * 2 1 2 of Lemma p-int-injection


1. p : {2...}
2. ∀k:ℤ. ∃n:ℕ+. ((∀m:{n...}. ((k(p) m) = (p^m + k) ∈ ℤ)) ∨ (∀m:{n...}. ((k(p) m) = k ∈ ℤ)))
3. a1 : ℤ
4. a2 : ℤ
5. a1(p) = a2(p) ∈ p-adics(p)
6. n1 : ℕ+
7. ∀m:{n1...}. ((a1(p) m) = a1 ∈ ℤ)
8. n : ℕ+
9. ∀m:{n...}. ((a2(p) m) = (p^m + a2) ∈ ℤ)
⊢ a1 = a2 ∈ ℤ
BY
{ ((Assert a1 = (p^imax(n1;n) + a2) ∈ ℤ BY
          ((D -3 With ⌜imax(n1;n)⌝  THENA Auto) THEN D -2 With ⌜imax(n1;n)⌝  THEN Auto))
   THEN (Assert a1 = (p^(imax(n1;n) + 1) + a2) ∈ ℤ BY
               (Thin (-1)
                THEN (D -3 With ⌜imax(n1;n) + 1⌝  THENA Auto)
                THEN D -2 With ⌜imax(n1;n) + 1⌝ 
                THEN Auto
                THEN (Assert (n1 ≤ imax(n1;n)) ∧ (n ≤ imax(n1;n)) BY
                            Auto)
                THEN Auto))
   ) }

1
1. p : {2...}
2. ∀k:ℤ. ∃n:ℕ+. ((∀m:{n...}. ((k(p) m) = (p^m + k) ∈ ℤ)) ∨ (∀m:{n...}. ((k(p) m) = k ∈ ℤ)))
3. a1 : ℤ
4. a2 : ℤ
5. a1(p) = a2(p) ∈ p-adics(p)
6. n1 : ℕ+
7. ∀m:{n1...}. ((a1(p) m) = a1 ∈ ℤ)
8. n : ℕ+
9. ∀m:{n...}. ((a2(p) m) = (p^m + a2) ∈ ℤ)
10. a1 = (p^imax(n1;n) + a2) ∈ ℤ
11. a1 = (p^(imax(n1;n) + 1) + a2) ∈ ℤ
⊢ a1 = a2 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \{2...\}
2.  \mforall{}k:\mBbbZ{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((\mforall{}m:\{n...\}.  ((k(p)  m)  =  (p\^{}m  +  k)))  \mvee{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  ((k(p)  m)  =  k)))
3.  a1  :  \mBbbZ{}
4.  a2  :  \mBbbZ{}
5.  a1(p)  =  a2(p)
6.  n1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}m:\{n1...\}.  ((a1(p)  m)  =  a1)
8.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}m:\{n...\}.  ((a2(p)  m)  =  (p\^{}m  +  a2))
\mvdash{}  a1  =  a2


By

---

Latex:
((Assert  a1  =  (p\^{}imax(n1;n)  +  a2)  BY
                ((D  -3  With  \mkleeneopen{}imax(n1;n)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  D  -2  With  \mkleeneopen{}imax(n1;n)\mkleeneclose{}    THEN  Auto))
  THEN  (Assert  a1  =  (p\^{}(imax(n1;n)  +  1)  +  a2)  BY
                          (Thin  (-1)
                            THEN  (D  -3  With  \mkleeneopen{}imax(n1;n)  +  1\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
                            THEN  D  -2  With  \mkleeneopen{}imax(n1;n)  +  1\mkleeneclose{} 
                            THEN  Auto
                            THEN  (Assert  (n1  \mleq{}  imax(n1;n))  \mwedge{}  (n  \mleq{}  imax(n1;n))  BY
                                                    Auto)
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index