---

Step * 1 1 1 2 1 1 2 of Lemma Q-R-glues-split


1. Info : Type
2. P : es:EO+(Info) ─→ E ─→ ℙ
3. p : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec(P[es;e])@i'
4. A : Type
5. B : Type
6. Ia : EClass(A)@i'
7. Ib : EClass(B)@i'
8. Singlevalued(Ia)@i'
9. Singlevalued(Ib)@i'
10. g1 : es:EO+(Info) ─→ E(Ib) ─→ E@i'
11. q : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec((↑e ∈b Ib) c∧ P[es;g1 es e])@i'
12. es : EO+(Info)@i'
13. Q : E ─→ E ─→ ℙ
14. R : E ─→ E ─→ ℙ
15. ∀x,y:E.  ((Q x y) ⇒ (P[es;x] ⇐⇒ P[es;y]))@i
16. f : E(Ia) ─→ B@i
17. g2 : E(Ib) ─→ E@i
18. g1 es glues (Ia|p):Q ──f─→ (Ib|q):R@i
19. g2 glues (Ia|¬p):Q ──f─→ (Ib|¬q):R@i
20. E((Ib|q)) ⊆r E(Ib)
21. E((Ia|p)) ⊆r E(Ia)
22. E((Ia|¬p)) ⊆r E(Ia)
23. E((Ib|¬q)) ⊆r E(Ib)
24. [{(Ib|q)}? g1 es : g2] glues [(Ia|p)?(Ia|¬p)]:Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)} ──f─→ [(Ib|q)?(Ib|¬q)]:R
25. Q ⇐⇒ Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)}
26. x : E(Ib)@i
27. y : ¬P[es;g1 es x]@i
28. (p es (g1 es x)) = (inr y ) ∈ Dec(P[es;g1 es x])@i
29. x1 : ↑x ∈b (Ib|q)@i
30. bool-decider(x ∈b (Ib|q)) = (inl x1) ∈ Dec(↑x ∈b (Ib|q))@i
⊢ (g2 x) = (g1 es x) ∈ E
BY
{ (Thin (-1) THEN RWO "es-is-interface-restrict" (-1) THEN Auto) }

1
1. Info : Type
2. P : es:EO+(Info) ─→ E ─→ ℙ
3. p : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec(P[es;e])@i'
4. A : Type
5. B : Type
6. Ia : EClass(A)@i'
7. Ib : EClass(B)@i'
8. Singlevalued(Ia)@i'
9. Singlevalued(Ib)@i'
10. g1 : es:EO+(Info) ─→ E(Ib) ─→ E@i'
11. q : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec((↑e ∈b Ib) c∧ P[es;g1 es e])@i'
12. es : EO+(Info)@i'
13. Q : E ─→ E ─→ ℙ
14. R : E ─→ E ─→ ℙ
15. ∀x,y:E.  ((Q x y) ⇒ (P[es;x] ⇐⇒ P[es;y]))@i
16. f : E(Ia) ─→ B@i
17. g2 : E(Ib) ─→ E@i
18. g1 es glues (Ia|p):Q ──f─→ (Ib|q):R@i
19. g2 glues (Ia|¬p):Q ──f─→ (Ib|¬q):R@i
20. E((Ib|q)) ⊆r E(Ib)
21. E((Ia|p)) ⊆r E(Ia)
22. E((Ia|¬p)) ⊆r E(Ia)
23. E((Ib|¬q)) ⊆r E(Ib)
24. [{(Ib|q)}? g1 es : g2] glues [(Ia|p)?(Ia|¬p)]:Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)} ──f─→ [(Ib|q)?(Ib|¬q)]:R
25. Q ⇐⇒ Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)}
26. x : E(Ib)@i
27. y : ¬P[es;g1 es x]@i
28. (p es (g1 es x)) = (inr y ) ∈ Dec(P[es;g1 es x])@i
29. ↑x ∈b Ib
30. (↑x ∈b Ib) c∧ P[es;g1 es x]
⊢ (g2 x) = (g1 es x) ∈ E

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  P  :  es:EO+(Info)  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  p  :  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    Dec(P[es;e])@i'
4.  A  :  Type
5.  B  :  Type
6.  Ia  :  EClass(A)@i'
7.  Ib  :  EClass(B)@i'
8.  Singlevalued(Ia)@i'
9.  Singlevalued(Ib)@i'
10.  g1  :  es:EO+(Info)  {}\mrightarrow{}  E(Ib)  {}\mrightarrow{}  E@i'
11.  q  :  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    Dec((\muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  Ib)  c\mwedge{}  P[es;g1  es  e])@i'
12.  es  :  EO+(Info)@i'
13.  Q  :  E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
14.  R  :  E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
15.  \mforall{}x,y:E.    ((Q  x  y)  {}\mRightarrow{}  (P[es;x]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  P[es;y]))@i
16.  f  :  E(Ia)  {}\mrightarrow{}  B@i
17.  g2  :  E(Ib)  {}\mrightarrow{}  E@i
18.  g1  es  glues  (Ia|p):Q  {}{}f{}\mrightarrow{}  (Ib|q):R@i
19.  g2  glues  (Ia|\mneg{}p):Q  {}{}f{}\mrightarrow{}  (Ib|\mneg{}q):R@i
20.  E((Ib|q))  \msubseteq{}r  E(Ib)
21.  E((Ia|p))  \msubseteq{}r  E(Ia)
22.  E((Ia|\mneg{}p))  \msubseteq{}r  E(Ia)
23.  E((Ib|\mneg{}q))  \msubseteq{}r  E(Ib)
24.  [\{(Ib|q)\}?  g1  es  :  g2]  glues  [(Ia|p)?(Ia|\mneg{}p)]:Q|\{(Ia|p)\}  \mvee{}  Q|\{(Ia|\mneg{}p)\}  {}{}f{}\mrightarrow{}  [(Ib|q)?(Ib|\mneg{}q)]:R
25.  Q  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  Q|\{(Ia|p)\}  \mvee{}  Q|\{(Ia|\mneg{}p)\}
26.  x  :  E(Ib)@i
27.  y  :  \mneg{}P[es;g1  es  x]@i
28.  (p  es  (g1  es  x))  =  (inr  y  )@i
29.  x1  :  \muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  (Ib|q)@i
30.  bool-decider(x  \mmember{}\msubb{}  (Ib|q))  =  (inl  x1)@i
\mvdash{}  (g2  x)  =  (g1  es  x)


By

---

Latex:
(Thin  (-1)  THEN  RWO  "es-is-interface-restrict"  (-1)  THEN  Auto)

---

Home Index