---

Step * 2 3 1 of Lemma cs-possible-state-reachable


1. V : Type
2. A : Id List
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List
4. v : V
5. 1 < ||W||
6. two-intersection(A;W)
7. u : {a:Id| (a ∈ A)} @i
8. v1 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
9. <λa.<0, ⊗>, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)> 
   ((λx,y. consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y))^*) 
   <λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)>@i
⊢ <λa.<0, ⊗>, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)> 
  ((λx,y. consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y))^*) 
  <λa.<0, if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)>
BY
{ (Using [`y',⌈<λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)>⌉
   ] (BLemma `rel_star_transitivity`)⋅
   THEN Try (WithRuleCount 20000 Auto)
   THEN (Thin (-1)
         THEN ((Decide (u ∈ v1) THENA Auto) THENL [BLemma `rel_star_weakening`; BLemma `rel_rel_star`])
         THEN Try (WithRuleCount 20000 Auto))⋅) }

1
1. V : Type
2. A : Id List
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List
4. v : V
5. 1 < ||W||
6. two-intersection(A;W)
7. u : {a:Id| (a ∈ A)} @i
8. v1 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
9. (u ∈ v1)
⊢ <λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)>
= <λa.<0, if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)>
∈ ({a:Id| (a ∈ A)}  ─→ (ℤ × j:ℤ fp-> V) × ({a:Id| (a ∈ A)}  ─→ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)))

2
1. V : Type
2. A : Id List
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List
4. v : V
5. 1 < ||W||
6. two-intersection(A;W)
7. u : {a:Id| (a ∈ A)} @i
8. v1 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
9. ¬(u ∈ v1)
⊢ <λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)> 
  (λx,y. consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y)) 
  <λa.<0, if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)>

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List
3.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List
4.  v  :  V
5.  1  <  ||W||
6.  two-intersection(A;W)
7.  u  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
8.  v1  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
9.  <\mlambda{}a.ɘ,  \motimes{}>,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  inr  \mcdot{}  >)> 
      rel\_star(\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  j:\mBbbZ{}  fp->  V)  \mtimes{}  (\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  b:Id  fp->  \mBbbZ{}  \mtimes{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  V  +  Top))\000C;
                        \mlambda{}x,y.  consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y)) 
      <\mlambda{}a.ɘ,  if  a  \mmember{}\msubb{}  v1)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  inr  \mcdot{}  >)>@i
\mvdash{}  <\mlambda{}a.ɘ,  \motimes{}>,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  inr  \mcdot{}  >)> 
    rel\_star(\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  j:\mBbbZ{}  fp->  V)  \mtimes{}  (\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  b:Id  fp->  \mBbbZ{}  \mtimes{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  V  +  Top));
                      \mlambda{}x,y.  consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y)) 
    <\mlambda{}a.ɘ,  if  (IdDeq  u  a)  \mvee{}\msubb{}a  \mmember{}\msubb{}  v1)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  inr  \mcdot{}  >)>


By

(Using  [`y',\mkleeneopen{}<\mlambda{}a.ɘ,  if  a  \mmember{}\msubb{}  v1)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  inr  \mcdot{}  >)>\mkleeneclose{}
  ]  (BLemma  `rel\_star\_transitivity`)\mcdot{}
  THEN  Try  (WithRuleCount  20000  Auto)
  THEN  (Thin  (-1)
              THEN  ((Decide  (u  \mmember{}  v1)  THENA  Auto)
                          THENL  [BLemma  `rel\_star\_weakening`;  BLemma  `rel\_rel\_star`]
              )
              THEN  Try  (WithRuleCount  20000  Auto))\mcdot{})

---

Home Index