---

Step * 2 3 1 2 of Lemma cs-possible-state-reachable


1. V : Type
2. A : Id List
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List
4. v : V
5. 1 < ||W||
6. two-intersection(A;W)
7. u : {a:Id| (a ∈ A)} @i
8. v1 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
9. ¬(u ∈ v1)
⊢ <λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)> 
  (λx,y. consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y)) 
  <λa.<0, if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >)>
BY
{ (RepUR ``infix_ap consensus-rel-knowledge`` 0
   THEN (InstConcl [⌈u⌉]⋅ THENA (Auto THEN RepUR ``consensus-state4 consensus-state5`` 0 THEN Auto))
   THEN D 0) }

1
1. V : Type
2. A : Id List
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List
4. v : V
5. 1 < ||W||
6. two-intersection(A;W)
7. u : {a:Id| (a ∈ A)} @i
8. v1 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
9. ¬(u ∈ v1)
⊢ ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
    ((¬(b = u ∈ Id))
    ⇒ ((Inning(λa.<0, if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >;b)
        = Inning(λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >;b)
        ∈ ℤ)
       ∧ (Estimate(λa.<0, if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >;b)
         = Estimate(λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >;b)
         ∈ i:ℤ fp-> V)
       ∧ (Knowledge(λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);b)
         = Knowledge(λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);b)
         ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))

2
1. V : Type
2. A : Id List
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List
4. v : V
5. 1 < ||W||
6. two-intersection(A;W)
7. u : {a:Id| (a ∈ A)} @i
8. v1 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
9. ¬(u ∈ v1)
⊢ consensus-rel-knowledge-inning-step(V;A;W;λa.<0, if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >;λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);
            λa.<0, if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi >;λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);u)
∨ consensus-rel-knowledge-archive-step(V;A;W;λa.<0
                                                , if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi 
                                                >;λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);λa.<0
                                                                                 , if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1)
                                                                                   then 0 : v
                                                                                   else ⊗
                                                                                   fi 
                                                                                 >;λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);u)
∨ consensus-rel-add-knowledge-step(V;A;W;λa.<0
                                            , if a ∈b v1) then 0 : v else ⊗ fi 
                                            >;λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);λa.<0
                                                                             , if (IdDeq u a) ∨ba ∈b v1)
                                                                               then 0 : v
                                                                               else ⊗
                                                                               fi 
                                                                             >;λa.mk_fpf(A;λb.<0, inr ⋅ >);u)

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List
3.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List
4.  v  :  V
5.  1  <  ||W||
6.  two-intersection(A;W)
7.  u  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
8.  v1  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
9.  \mneg{}(u  \mmember{}  v1)
\mvdash{}  <\mlambda{}a.ɘ,  if  a  \mmember{}\msubb{}  v1)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  inr  \mcdot{}  >)> 
    (\mlambda{}x,y.  consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y)) 
    <\mlambda{}a.ɘ,  if  (IdDeq  u  a)  \mvee{}\msubb{}a  \mmember{}\msubb{}  v1)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  inr  \mcdot{}  >)>


By

(RepUR  ``infix\_ap  consensus-rel-knowledge``  0
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  RepUR  ``consensus-state4  consensus-state5``  0  THEN  Auto))
  THEN  D  0)

---

Home Index