---

Step * 2 2 1 3 of Lemma cs-ref-map-step


1. V : Type
2. {∃v1,v2:V. (¬(v1 = v2 ∈ V))}@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. ||W|| ≥ 1 
6. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
7. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
8. x : ConsensusState@i
9. (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) x@i
10. y : ConsensusState@i
11. (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) y@i
12. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
13. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y;b) = Inning(x;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;b) = Estimate(x;b) ∈ i:ℤ fp-> V)))@i
14. ((Inning(y;a) = (Inning(x;a) + 1) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ∈ i:ℤ fp-> V))
∨ ((Inning(y;a) = Inning(x;a) ∈ ℤ)
  ∧ (¬(Inning(x;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))))
  ∧ (∃v:V
      (state x may consider v in inning Inning(x;a)
      ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ⊕ Inning(x;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V))))@i
15. ||f x|| ≤ ||f y||
16. ||f x|| < ||f y||
17. ∀j:ℕ. ((¬(j = Inning(x;a) ∈ ℤ)) ⇒ (∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . (Inning(y;b) ≤ j ⇐⇒ Inning(x;b) ≤ j)))
⊢ (||f y|| = (||f x|| + 1) ∈ ℤ) ∧ (f y[||f x||] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
BY
{ ((Assert ∀i:ℕ. (i < ||f x|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(x;a))) BY
          ((D 0 THENA Auto)
           THEN Unfold `cs-ref-map-constraints` 7
           THEN (InstHyp [⌈x⌉;⌈i⌉] 7⋅ THENA Auto)
           THEN D -1
           THEN Trivial))
   THEN (Assert ∀i:ℕ. (i < ||f y|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(y;a))) BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN Unfold `cs-ref-map-constraints` 7
                THEN (InstHyp [⌈y⌉;⌈i⌉] 7⋅ THENA Auto)
                THEN D -1
                THEN Trivial))
   ) }

1
1. V : Type
2. {∃v1,v2:V. (¬(v1 = v2 ∈ V))}@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. ||W|| ≥ 1 
6. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
7. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
8. x : ConsensusState@i
9. (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) x@i
10. y : ConsensusState@i
11. (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) y@i
12. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
13. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y;b) = Inning(x;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;b) = Estimate(x;b) ∈ i:ℤ fp-> V)))@i
14. ((Inning(y;a) = (Inning(x;a) + 1) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ∈ i:ℤ fp-> V))
∨ ((Inning(y;a) = Inning(x;a) ∈ ℤ)
  ∧ (¬(Inning(x;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))))
  ∧ (∃v:V
      (state x may consider v in inning Inning(x;a)
      ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ⊕ Inning(x;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V))))@i
15. ||f x|| ≤ ||f y||
16. ||f x|| < ||f y||
17. ∀j:ℕ. ((¬(j = Inning(x;a) ∈ ℤ)) ⇒ (∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . (Inning(y;b) ≤ j ⇐⇒ Inning(x;b) ≤ j)))
18. ∀i:ℕ. (i < ||f x|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(x;a)))
19. ∀i:ℕ. (i < ||f y|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(y;a)))
⊢ (||f y|| = (||f x|| + 1) ∈ ℤ) ∧ (f y[||f x||] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  \{\mexists{}v1,v2:V.  (\mneg{}(v1  =  v2))\}@i
3.  A  :  Id  List@i
4.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
5.  ||W||  \mgeq{}  1 
6.  f  :  ConsensusState  {}\mrightarrow{}  (consensus-state3(V)  List)@i
7.  cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
8.  x  :  ConsensusState@i
9.  (\mlambda{}a.<-1,  \motimes{}>)  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  x@i
10.  y  :  ConsensusState@i
11.  (\mlambda{}a.<-1,  \motimes{}>)  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  y@i
12.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
13.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))  {}\mRightarrow{}  ((Inning(y;b)  =  Inning(x;b))  \mwedge{}  (Estimate(y;b)  =  Estimate(x;b))))@i
14.  ((Inning(y;a)  =  (Inning(x;a)  +  1))  \mwedge{}  (Estimate(y;a)  =  Estimate(x;a)))
\mvee{}  ((Inning(y;a)  =  Inning(x;a))
    \mwedge{}  (\mneg{}(Inning(x;a)  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x;a))))
    \mwedge{}  (\mexists{}v:V
            (state  x  may  consider  v  in  inning  Inning(x;a)
            \mwedge{}  (Estimate(y;a)  =  Estimate(x;a)  \moplus{}  Inning(x;a)  :  v))))@i
15.  ||f  x||  \mleq{}  ||f  y||
16.  ||f  x||  <  ||f  y||
17.  \mforall{}j:\mBbbN{}.  ((\mneg{}(j  =  Inning(x;a)))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (Inning(y;b)  \mleq{}  j  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  Inning(x;b)  \mleq{}  j)))
\mvdash{}  (||f  y||  =  (||f  x||  +  1))  \mwedge{}  (f  y[||f  x||]  =  INITIAL)


By

((Assert  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (i  <  ||f  x||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(x;a)))  BY
                ((D  0  THENA  Auto)
                  THEN  Unfold  `cs-ref-map-constraints`  7
                  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]  7\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  D  -1
                  THEN  Trivial))
  THEN  (Assert  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (i  <  ||f  y||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(y;a)))  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  Unfold  `cs-ref-map-constraints`  7
                            THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]  7\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  D  -1
                            THEN  Trivial))
  )

---

Home Index