---

Step * 1 1 1 1 of Lemma es-prior-interface-cases


1. [Info] : Type
2. X : EClass(Top)@i'
3. es : EO+(Info)@i'
4. e : E@i
5. ¬↑first(e)
6. x : ∃e':{E
((e' <loc e) ∧ (↑(#(X es e') =z 1)) ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑(#(X es e'') =z 1)))))}@i
7. (last(λe.(#(X es e) =z 1)) e)
= (inl x)
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})))@i
8. v : (∃e':{E| ((e' <loc pred(e))
                ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'))
                ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc pred(e)) ⇒ (¬↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'')))))})
∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc pred(e)) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))}))@i
9. (last(λe.(#(X es e) =z 1)) pred(e))
= v
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc pred(e))
            ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc pred(e)) ⇒ (¬↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc pred(e)) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})))@i
⊢ (¬False)
  ∧ (((↑(#(X es pred(e)) =z 1)) ∧ (x = pred(e) ∈ E)) ∨ ((¬↑(#(X es pred(e)) =z 1)) ∧ (↑isl(v)) ∧ (x = outl(v) ∈ E))) 
  supposing True
⇒ (¬False)
   ∧ (((↑(#(X es pred(e)) =z 1)) ∧ (x = pred(e) ∈ E))
     ∨ ((¬↑(#(X es pred(e)) =z 1))
       ∧ (↑(#(case v of inl(e') => {e'} | inr(x) => {}) =z 1))
       ∧ (x = only(case v of inl(e') => {e'} | inr(x) => {}) ∈ E))) 
   supposing True
BY
{ (D (-2) THEN Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. Info : Type
2. X : EClass(Top)@i'
3. es : EO+(Info)@i'
4. e : E@i
5. ¬↑first(e)
6. x : ∃e':{E
((e' <loc e) ∧ (↑(#(X es e') =z 1)) ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑(#(X es e'') =z 1)))))}@i
7. (last(λe.(#(X es e) =z 1)) e)
= (inl x)
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})))@i
8. y : ¬(∃e':{E| ((e' <loc pred(e)) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})@i
9. (last(λe.(#(X es e) =z 1)) pred(e))
= (inr y )
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc pred(e))
            ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc pred(e)) ⇒ (¬↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc pred(e)) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})))@i
10. True
11. ¬False
12. ¬False
13. ((↑(#(X es pred(e)) =z 1)) ∧ (x = pred(e) ∈ E)) ∨ ((¬↑(#(X es pred(e)) =z 1)) ∧ False ∧ (x = ⊥ ∈ E))
⊢ #(X es pred(e)) = 1 ∈ ℤ

2
1. Info : Type
2. X : EClass(Top)@i'
3. es : EO+(Info)@i'
4. e : E@i
5. ¬↑first(e)
6. x : ∃e':{E
((e' <loc e) ∧ (↑(#(X es e') =z 1)) ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑(#(X es e'') =z 1)))))}@i
7. (last(λe.(#(X es e) =z 1)) e)
= (inl x)
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})))@i
8. y : ¬(∃e':{E| ((e' <loc pred(e)) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})@i
9. (last(λe.(#(X es e) =z 1)) pred(e))
= (inr y )
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc pred(e))
            ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc pred(e)) ⇒ (¬↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc pred(e)) ∧ (↑((λe.(#(X es e) =z 1)) e')))})))@i
10. True
11. ¬False
12. ¬False
13. ((↑(#(X es pred(e)) =z 1)) ∧ (x = pred(e) ∈ E)) ∨ ((¬↑(#(X es pred(e)) =z 1)) ∧ False ∧ (x = ⊥ ∈ E))
14. ↑(#(X es pred(e)) =z 1)
⊢ x = pred(e) ∈ E

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  X  :  EClass(Top)@i'
3.  es  :  EO+(Info)@i'
4.  e  :  E@i
5.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
6.  x  :  \mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  e)
                              \mwedge{}  (\muparrow{}(\#(X  es  e')  =\msubz{}  1))
                              \mwedge{}  (\mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  (e''  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(\#(X  es  e'')  =\msubz{}  1)))))\}@i
7.  (last(\mlambda{}e.(\#(X  es  e)  =\msubz{}  1))  e)  =  (inl  x)@i
8.  v  :  (\mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  pred(e))
                                \mwedge{}  (\muparrow{}((\mlambda{}e.(\#(X  es  e)  =\msubz{}  1))  e'))
                                \mwedge{}  (\mforall{}e'':E
                                          ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  (e''  <loc  pred(e))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}((\mlambda{}e.(\#(X  es  e)  =\msubz{}  1))  e'')))))\})
\mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  pred(e))  \mwedge{}  (\muparrow{}((\mlambda{}e.(\#(X  es  e)  =\msubz{}  1))  e')))\}))@i
9.  (last(\mlambda{}e.(\#(X  es  e)  =\msubz{}  1))  pred(e))  =  v@i
\mvdash{}  (\mneg{}False)
    \mwedge{}  (((\muparrow{}(\#(X  es  pred(e))  =\msubz{}  1))  \mwedge{}  (x  =  pred(e)))
        \mvee{}  ((\mneg{}\muparrow{}(\#(X  es  pred(e))  =\msubz{}  1))  \mwedge{}  (\muparrow{}isl(v))  \mwedge{}  (x  =  outl(v)))) 
    supposing  True
{}\mRightarrow{}  (\mneg{}False)
      \mwedge{}  (((\muparrow{}(\#(X  es  pred(e))  =\msubz{}  1))  \mwedge{}  (x  =  pred(e)))
          \mvee{}  ((\mneg{}\muparrow{}(\#(X  es  pred(e))  =\msubz{}  1))
              \mwedge{}  (\muparrow{}(\#(case  v  of  inl(e')  =>  \{e'\}  |  inr(x)  =>  \{\})  =\msubz{}  1))
              \mwedge{}  (x  =  only(case  v  of  inl(e')  =>  \{e'\}  |  inr(x)  =>  \{\})))) 
      supposing  True


By

---

Latex:
(D  (-2)  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index