---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma loop-class-program_wf

.....subterm..... T:t
2:n
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
14. v : bag(B)@i
15. Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
16. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
17. z1 : hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
18. z2 : bag(B ─→ bag(B))@i
19. (x info(pred(e))) = <z1, z2> ∈ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
20. F loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
⊢ if bag-null(∪f∈z2.∪b∈v.f b) then v else ∪f∈z2.∪b∈v.f b fi 
= if 0 <z #(loop-class(X;init)(pred(e))) then loop-class(X;init)(pred(e)) else v fi 
∈ bag(B)
BY
{ (Subst ⌈loop-class(X;init)(pred(e)) = ∪f∈z2.∪b∈v.f b ∈ bag(B)⌉ 0⋅ THEN Auto) }

1
.....equality..... 
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
14. v : bag(B)@i
15. Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
16. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
17. z1 : hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
18. z2 : bag(B ─→ bag(B))@i
19. (x info(pred(e))) = <z1, z2> ∈ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
20. F loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
⊢ loop-class(X;init)(pred(e)) = ∪f∈z2.∪b∈v.f b ∈ bag(B)

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
14. v : bag(B)@i
15. Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
16. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
17. z1 : hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
18. z2 : bag(B ─→ bag(B))@i
19. (x info(pred(e))) = <z1, z2> ∈ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
20. F loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
⊢ if bag-null(∪f∈z2.∪b∈v.f b) then v else ∪f∈z2.∪b∈v.f b fi 
= if 0 <z #(∪f∈z2.∪b∈v.f b) then ∪f∈z2.∪b∈v.f b else v fi 
∈ bag(B)

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
2:n
1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  bag(B))
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  loop-class(X;init)  \mmember{}  EClass(B)
7.  F  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  bag(B))
8.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(F  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
9.  es  :  EO+(Info)@i'
10.  e  :  E@i
11.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (simple-hdf-buffer(F  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  simple-hdf-buffer(F 
                                                          loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                                    before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))))
12.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
13.  simple-hdf-buffer(F  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  simple-hdf-buffer(F 
                                        loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
14.  v  :  bag(B)@i
15.  Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e))  =  v@i
16.  x  :  Info  {}\mrightarrow{}  (hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  bag(B))  \mtimes{}  bag(B  {}\mrightarrow{}  bag(B)))@i
17.  z1  :  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  bag(B))@i
18.  z2  :  bag(B  {}\mrightarrow{}  bag(B))@i
19.  (x  info(pred(e)))  =  <z1,  z2>@i
20.  F  loc(pred(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  (inl  x)@i
\mvdash{}  if  bag-null(\mcup{}f\mmember{}z2.\mcup{}b\mmember{}v.f  b)  then  v  else  \mcup{}f\mmember{}z2.\mcup{}b\mmember{}v.f  b  fi 
=  if  0  <z  \#(loop-class(X;init)(pred(e)))  then  loop-class(X;init)(pred(e))  else  v  fi 


By

---

Latex:
(Subst  \mkleeneopen{}loop-class(X;init)(pred(e))  =  \mcup{}f\mmember{}z2.\mcup{}b\mmember{}v.f  b\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index