---

Step * 1 2 1 of Lemma loop-class-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(e)))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)));Prior(loop-class(X;init))?init(e))
∈ hdataflow(Info;B)
12. v : bag(B)@i
13. Prior(loop-class(X;init))?init(e) = v ∈ bag(B)@i
14. v1 : hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
15. F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e))) = v1 ∈ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
⊢ ∪f∈snd(v1(info(e))).∪b∈v.f b = (snd(simple-hdf-buffer(v1;v)(info(e)))) ∈ bag(B)
BY
{ (Unfold `simple-hdf-buffer` 0
   THEN RecUnfold `mk-hdf` 0
   THEN RepUR ``hdf-ap hdf-run`` 0
   THEN (HDataflowHD (-2) THENA Auto)
   THEN Reduce 0) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(e)))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)));Prior(loop-class(X;init))?init(e))
∈ hdataflow(Info;B)
12. v : bag(B)@i
13. Prior(loop-class(X;init))?init(e) = v ∈ bag(B)@i
14. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
⊢ ∪f∈snd((x info(e))).∪b∈v.f b
= (snd(let s1,b = let X',fs = x info(e) 
                  in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈v.f b
                     in <<X', if bag-null(bs') then v else bs' fi >, bs'> 
       in <mk-hdf(Xbs,a.let X,bs = Xbs 
                        in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                           in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈bs.f b
                              in <<X', if bag-null(bs') then bs else bs' fi >, bs'>;s.ff;s1)
          , b
          >))
∈ bag(B)

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(e)))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)));Prior(loop-class(X;init))?init(e))
∈ hdataflow(Info;B)
12. v : bag(B)@i
13. Prior(loop-class(X;init))?init(e) = v ∈ bag(B)@i
14. y : Unit@i
⊢ {} = Ax ∈ bag(B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  bag(B))
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  loop-class(X;init)  \mmember{}  EClass(B)
7.  F  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  bag(B))
8.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(F  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
9.  es  :  EO+(Info)@i'
10.  e  :  E@i
11.  simple-hdf-buffer(F  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))
=  simple-hdf-buffer(F  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)));Prior(loop-class(X;init))?init(e))
12.  v  :  bag(B)@i
13.  Prior(loop-class(X;init))?init(e)  =  v@i
14.  v1  :  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  bag(B))@i
15.  F  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))  =  v1@i
\mvdash{}  \mcup{}f\mmember{}snd(v1(info(e))).\mcup{}b\mmember{}v.f  b  =  (snd(simple-hdf-buffer(v1;v)(info(e))))


By

---

Latex:
(Unfold  `simple-hdf-buffer`  0
  THEN  RecUnfold  `mk-hdf`  0
  THEN  RepUR  ``hdf-ap  hdf-run``  0
  THEN  (HDataflowHD  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index