---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma combine-antecedent-surjections


1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
11. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
12. d : E ─→ 𝔹
13. ∀e:E. (↑(d e) ⇐⇒ A e)
⊢ ∃h:{e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
   ((∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E)))
   ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))))
BY
{ Assert ⌈λe.if d e then f e else g e fi  ∈ {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} ⌉⋅ }

1
.....assertion..... 
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
11. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
12. d : E ─→ 𝔹
13. ∀e:E. (↑(d e) ⇐⇒ A e)
⊢ λe.if d e then f e else g e fi  ∈ {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 

2
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
11. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
12. d : E ─→ 𝔹
13. ∀e:E. (↑(d e) ⇐⇒ A e)
14. λe.if d e then f e else g e fi  ∈ {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
⊢ ∃h:{e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
   ((∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E)))
   ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))))

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  [A]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [B]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [P]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [Q]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))
7.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e)))
8.  \mforall{}e:E.  Dec(P  e)@i
9.  \mforall{}e:E.  Dec(A  e)@i
10.  f  :  \{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  @i
11.  g  :  \{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  @i
12.  d  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
13.  \mforall{}e:E.  (\muparrow{}(d  e)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  A  e)
\mvdash{}  \mexists{}h:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 
      ((\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((A  e)  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (f  e))))
      \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((\mneg{}(A  e))  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (g  e)))))


By

Assert  \mkleeneopen{}\mlambda{}e.if  d  e  then  f  e  else  g  e  fi    \mmember{}  \{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\}  \mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index