---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma combine-antecedent-surjections

.....assertion..... 
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
11. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
12. d : E ─→ 𝔹
13. ∀e:E. (↑(d e) ⇐⇒ A e)
⊢ λe.if d e then f e else g e fi  ∈ {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
BY
{ ((MemCD THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (SplitOnConclITE THENA Auto)
   THEN DoSubsume
   THEN Auto
   THEN Try (Complete (Auto))
   THEN SplitOrHyps
   THEN Auto
   THEN D -1
   THEN Auto) }

---

Latex:


.....assertion..... 
1.  es  :  EO@i'
2.  [A]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [B]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [P]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [Q]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))
7.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e)))
8.  \mforall{}e:E.  Dec(P  e)@i
9.  \mforall{}e:E.  Dec(A  e)@i
10.  f  :  \{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  @i
11.  g  :  \{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  @i
12.  d  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
13.  \mforall{}e:E.  (\muparrow{}(d  e)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  A  e)
\mvdash{}  \mlambda{}e.if  d  e  then  f  e  else  g  e  fi    \mmember{}  \{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 


By

((MemCD  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto)
  THEN  DoSubsume
  THEN  Auto
  THEN  Try  (Complete  (Auto))
  THEN  SplitOrHyps
  THEN  Auto
  THEN  D  -1
  THEN  Auto)

---

Home Index