---

Step * 1 1 1 2 1 2 1 of Lemma combine-antecedent-surjections


1. es : EO@i'
2. A : E ─→ ℙ
3. B : E ─→ ℙ
4. P : E ─→ ℙ
5. Q : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
11. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
12. d : E ─→ 𝔹
13. ∀e:E. (↑(d e) ⇐⇒ A e)
14. λe.if d e then f e else g e fi  ∈ {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
15. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ (if d e then f e else g e fi  = (f e) ∈ E))
16. e : {e:E| (A e) ∨ (B e)} @i
17. ¬↑(d e)
18. ¬(A e)@i
⊢ e ∈ {e:E| B e} 
BY
{ (RepeatFor 2 (D -3) THEN Auto) }

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  A  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  B  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  P  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  Q  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))
7.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e)))
8.  \mforall{}e:E.  Dec(P  e)@i
9.  \mforall{}e:E.  Dec(A  e)@i
10.  f  :  \{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  @i
11.  g  :  \{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  @i
12.  d  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
13.  \mforall{}e:E.  (\muparrow{}(d  e)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  A  e)
14.  \mlambda{}e.if  d  e  then  f  e  else  g  e  fi    \mmember{}  \{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 
15.  \mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((A  e)  {}\mRightarrow{}  (if  d  e  then  f  e  else  g  e  fi    =  (f  e)))
16.  e  :  \{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  @i
17.  \mneg{}\muparrow{}(d  e)
18.  \mneg{}(A  e)@i
\mvdash{}  e  \mmember{}  \{e:E|  B  e\} 


By

(RepeatFor  2  (D  -3)  THEN  Auto)

---

Home Index