---

Step * 1 2 of Lemma combine-antecedent-surjections


1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. ∀e:E. Dec(B e)@i
11. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
12. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
13. P ←←─ f── A@i
14. Q ←←─ g── B@i
15. ∃h:{e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
     ((∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E)))
     ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))))
⊢ ∃h:{e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
   (λe.((P e) ∨ (Q e)) ←←─ h── λe.((A e) ∨ (B e))
   ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E)))
   ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . (h e) = (g e) ∈ E supposing ¬(A e)))
BY
{ (ParallelLast
   THEN ExRepD
   THEN Auto
   THEN (Auto THEN SplitOrHyps THEN Auto THEN All (Unfold `antecedent-surjection`) THEN All Reduce THEN Auto)⋅) }

1
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. ∀e:E. Dec(B e)@i
11. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
12. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
13. P ←──f── A@i
14. ∀e:{e:E| P e} . ∃e':{e:E| A e} . ((f e') = e ∈ E)@i
15. Q ←──g── B@i
16. ∀e:{e:E| Q e} . ∃e':{e:E| B e} . ((g e') = e ∈ E)@i
17. h : {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
18. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E))
19. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))
⊢ λe.((P e) ∨ (Q e)) ←──h── λe.((A e) ∨ (B e))

2
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. ∀e:E. Dec(B e)@i
11. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
12. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
13. P ←──f── A@i
14. ∀e:{e:E| P e} . ∃e':{e:E| A e} . ((f e') = e ∈ E)@i
15. Q ←──g── B@i
16. ∀e:{e:E| Q e} . ∃e':{e:E| B e} . ((g e') = e ∈ E)@i
17. h : {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
18. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E))
19. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))
20. λe.((P e) ∨ (Q e)) ←──h── λe.((A e) ∨ (B e))
21. e : {e:E| (P e) ∨ (Q e)} @i
⊢ ∃e':{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((h e') = e ∈ E)

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  [A]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [B]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [P]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [Q]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))
7.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e)))
8.  \mforall{}e:E.  Dec(P  e)@i
9.  \mforall{}e:E.  Dec(A  e)@i
10.  \mforall{}e:E.  Dec(B  e)@i
11.  f  :  \{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  @i
12.  g  :  \{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  @i
13.  P  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  f{}{}  A@i
14.  Q  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  g{}{}  B@i
15.  \mexists{}h:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 
          ((\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((A  e)  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (f  e))))
          \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((\mneg{}(A  e))  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (g  e)))))
\mvdash{}  \mexists{}h:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 
      (\mlambda{}e.((P  e)  \mvee{}  (Q  e))  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  h{}{}  \mlambda{}e.((A  e)  \mvee{}  (B  e))
      \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((A  e)  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (f  e))))
      \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  (h  e)  =  (g  e)  supposing  \mneg{}(A  e)))


By

(ParallelLast
  THEN  ExRepD
  THEN  Auto
  THEN  (Auto
              THEN  SplitOrHyps
              THEN  Auto
              THEN  All  (Unfold  `antecedent-surjection`)
              THEN  All  Reduce
              THEN  Auto)\mcdot{})

---

Home Index