---

Step * 1 2 1 of Lemma combine-antecedent-surjections


1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. ∀e:E. Dec(B e)@i
11. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
12. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
13. P ←──f── A@i
14. ∀e:{e:E| P e} . ∃e':{e:E| A e} . ((f e') = e ∈ E)@i
15. Q ←──g── B@i
16. ∀e:{e:E| Q e} . ∃e':{e:E| B e} . ((g e') = e ∈ E)@i
17. h : {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
18. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E))
19. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))
⊢ λe.((P e) ∨ (Q e)) ←──h── λe.((A e) ∨ (B e))
BY
{ ((All (Unfold `antecedent-function`)) THEN ExRepD THEN All Reduce) }

1
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. ∀e:E. Dec(B e)@i
11. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
12. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
13. ∀e:{e:E| A e} . ((f e < e) ∧ (P (f e)))@i
14. ∀e:{e:E| P e} . ∃e':{e:E| A e} . ((f e') = e ∈ E)@i
15. ∀e:{e:E| B e} . ((g e < e) ∧ (Q (g e)))@i
16. ∀e:{e:E| Q e} . ∃e':{e:E| B e} . ((g e') = e ∈ E)@i
17. h : {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
18. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E))
19. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))
20. e : {e:E| (A e) ∨ (B e)} @i
⊢ (h e < e) ∧ ((P (h e)) ∨ (Q (h e)))

2
1. es : EO@i'
2. A : E ─→ ℙ
3. B : E ─→ ℙ
4. P : E ─→ ℙ
5. Q : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. ∀e:E. Dec(B e)@i
11. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
12. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
13. ∀e:{e:E| A e} . ((f e < e) ∧ (P (f e)))@i
14. ∀e:{e:E| P e} . ∃e':{e:E| A e} . ((f e') = e ∈ E)@i
15. ∀e:{e:E| B e} . ((g e < e) ∧ (Q (g e)))@i
16. ∀e:{e:E| Q e} . ∃e':{e:E| B e} . ((g e') = e ∈ E)@i
17. h : {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
18. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E))
19. ∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((¬(A e)) ⇒ ((h e) = (g e) ∈ E))
⊢ {e:E| (A e) ∨ (B e)}  ∈ ℙ

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  [A]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [B]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [P]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [Q]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))
7.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e)))
8.  \mforall{}e:E.  Dec(P  e)@i
9.  \mforall{}e:E.  Dec(A  e)@i
10.  \mforall{}e:E.  Dec(B  e)@i
11.  f  :  \{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  @i
12.  g  :  \{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  @i
13.  P  \mleftarrow{}{}{}f{}{}  A@i
14.  \mforall{}e:\{e:E|  P  e\}  .  \mexists{}e':\{e:E|  A  e\}  .  ((f  e')  =  e)@i
15.  Q  \mleftarrow{}{}{}g{}{}  B@i
16.  \mforall{}e:\{e:E|  Q  e\}  .  \mexists{}e':\{e:E|  B  e\}  .  ((g  e')  =  e)@i
17.  h  :  \{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 
18.  \mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((A  e)  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (f  e)))
19.  \mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((\mneg{}(A  e))  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (g  e)))
\mvdash{}  \mlambda{}e.((P  e)  \mvee{}  (Q  e))  \mleftarrow{}{}{}h{}{}  \mlambda{}e.((A  e)  \mvee{}  (B  e))


By

((All  (Unfold  `antecedent-function`))  THEN  ExRepD  THEN  All  Reduce)

---

Home Index