---

Step * 2 2 2 1 1 of Lemma expectation-rv-disjoint


1. p : FinProbSpace
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n - 1)].  E(n - 1;X * Y) = (E(n - 1;X) * E(n - 1;Y)) ∈ ℚ supposing rv-disjoint(p;n - 1;X;Y)
5. X : RandomVariable(p;n)
6. Y : RandomVariable(p;n)
7. rv-disjoint(p;n;X;Y)
8. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
9. ∀x,y:Outcome.  (rv-shift(x;Y) = rv-shift(y;Y) ∈ RandomVariable(p;n - 1))
10. x : Outcome
⊢ E(n - 1;rv-shift(x;X * Y)) = ((E(n - 1;rv-shift(0;Y)) * E(n - 1;rv-shift(x;X))) + 0) ∈ ℚ
BY
{ ((InstHyp [⌈rv-shift(x;X)⌉; ⌈rv-shift(x;Y)⌉] 4)⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. p : FinProbSpace
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n - 1)].  E(n - 1;X * Y) = (E(n - 1;X) * E(n - 1;Y)) ∈ ℚ supposing rv-disjoint(p;n - 1;X;Y)
5. X : RandomVariable(p;n)
6. Y : RandomVariable(p;n)
7. rv-disjoint(p;n;X;Y)
8. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
9. ∀x,y:Outcome.  (rv-shift(x;Y) = rv-shift(y;Y) ∈ RandomVariable(p;n - 1))
10. x : Outcome
⊢ rv-disjoint(p;n - 1;rv-shift(x;X);rv-shift(x;Y))

2
1. p : FinProbSpace
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n - 1)].  E(n - 1;X * Y) = (E(n - 1;X) * E(n - 1;Y)) ∈ ℚ supposing rv-disjoint(p;n - 1;X;Y)
5. X : RandomVariable(p;n)
6. Y : RandomVariable(p;n)
7. rv-disjoint(p;n;X;Y)
8. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
9. ∀x,y:Outcome.  (rv-shift(x;Y) = rv-shift(y;Y) ∈ RandomVariable(p;n - 1))
10. x : Outcome
11. E(n - 1;rv-shift(x;X) * rv-shift(x;Y)) = (E(n - 1;rv-shift(x;X)) * E(n - 1;rv-shift(x;Y))) ∈ ℚ
⊢ E(n - 1;rv-shift(x;X * Y)) = ((E(n - 1;rv-shift(0;Y)) * E(n - 1;rv-shift(x;X))) + 0) ∈ ℚ

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  \mforall{}[X,Y:RandomVariable(p;n  -  1)].
          E(n  -  1;X  *  Y)  =  (E(n  -  1;X)  *  E(n  -  1;Y))  supposing  rv-disjoint(p;n  -  1;X;Y)
5.  X  :  RandomVariable(p;n)
6.  Y  :  RandomVariable(p;n)
7.  rv-disjoint(p;n;X;Y)
8.  \mneg{}(n  =  0)
9.  \mforall{}x,y:Outcome.    (rv-shift(x;Y)  =  rv-shift(y;Y))
10.  x  :  Outcome
\mvdash{}  E(n  -  1;rv-shift(x;X  *  Y))  =  ((E(n  -  1;rv-shift(0;Y))  *  E(n  -  1;rv-shift(x;X)))  +  0)


By

((InstHyp  [\mkleeneopen{}rv-shift(x;X)\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}rv-shift(x;Y)\mkleeneclose{}]  4)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index