---

Step * 2 2 1 2 2 1 1 1 of Lemma slln-lemma1


1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. 0 ≤ s
10. B : ℚ
11. k ≤ B
12. s ≤ B
13. n : ℤ@i
14. 0 < n@i
15. Z : RandomVariable(p;f[n - 1])@i
16. rv-partial-sum(n - 1;i.X[i]) = Z ∈ RandomVariable(p;f[n - 1])@i
17. E(f[n - 1];(x.(x * x) * x * x) o Z) ≤ (((3 * s) + 1) * B * (n - 1) * (n - 1))@i
18. E(f[n - 1];(x.x * x) o Z) ≤ (B * (n - 1))@i
19. x : ℕf[n] ─→ Outcome
20. a : ℚ@i
21. (X[n - 1] x) = a ∈ ℚ@i
22. b : ℚ@i
23. (Z x) = b ∈ ℚ@i
⊢ (((b + a) * (b + a)) * (b + a) * (b + a))
= (((b * b) * b * b) + ((((b * b) * b) * 4 * a) + (((a * a) * a) * 4 * b) + (6 * (b * b) * a * a)) + ((a * a) * a * a))
∈ ℚ
BY
{ (All Thin⋅ THEN QNorm 0) }

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  s  :  \mBbbQ{}@i
5.  k  :  \mBbbQ{}@i
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          ((E(f[n];X[n])  =  0)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.x  *  x)  o  X[n])  =  s)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  X[n])  =  k))
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9.  0  \mleq{}  s
10.  B  :  \mBbbQ{}
11.  k  \mleq{}  B
12.  s  \mleq{}  B
13.  n  :  \mBbbZ{}@i
14.  0  <  n@i
15.  Z  :  RandomVariable(p;f[n  -  1])@i
16.  rv-partial-sum(n  -  1;i.X[i])  =  Z@i
17.  E(f[n  -  1];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  Z)  \mleq{}  (((3  *  s)  +  1)  *  B  *  (n  -  1)  *  (n  -  1))@i
18.  E(f[n  -  1];(x.x  *  x)  o  Z)  \mleq{}  (B  *  (n  -  1))@i
19.  x  :  \mBbbN{}f[n]  {}\mrightarrow{}  Outcome
20.  a  :  \mBbbQ{}@i
21.  (X[n  -  1]  x)  =  a@i
22.  b  :  \mBbbQ{}@i
23.  (Z  x)  =  b@i
\mvdash{}  (((b  +  a)  *  (b  +  a))  *  (b  +  a)  *  (b  +  a))
=  (((b  *  b)  *  b  *  b)
    +  ((((b  *  b)  *  b)  *  4  *  a)  +  (((a  *  a)  *  a)  *  4  *  b)  +  (6  *  (b  *  b)  *  a  *  a))
    +  ((a  *  a)  *  a  *  a))


By

(All  Thin\mcdot{}  THEN  QNorm  0)

---

Home Index