---

Step * 1 1 2 2 3 2 2 1 of Lemma A-open-box-image_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. J : Cname List
5. K : Cname List
6. alpha : X(I)
7. f : name-morph(I;K)
8. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
9. x : nameset(I)
10. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
11. i : ℕ2
12. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
13. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
14. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
15. ¬(x ∈ J)
16. l_subset(Cname;J;I)
17. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
18. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
19. ∀i:ℕ||bx||. ∀j:ℕi.  (¬(A-face-name(bx[j]) = A-face-name(bx[i]) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
20. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
21. map(f;J) ∈ nameset(K) List
22. f x ∈ nameset(K)
23. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
24. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
25. i1 : ℕ||bx||
26. ∀j:ℕi1. (¬(A-face-name(bx[j]) = A-face-name(bx[i1]) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
27. j : ℕi1
28. ¬(A-face-name(bx[j]) = A-face-name(bx[i1]) ∈ (nameset(I) × ℕ2))
⊢ ¬(A-face-name((λface.A-face-image(X;A;I;K;f;alpha;face)) bx[j])
= A-face-name((λface.A-face-image(X;A;I;K;f;alpha;face)) bx[i1])
∈ (nameset(K) × ℕ2))
BY
{ (Reduce 0
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN ((Assert (fst(bx[j]) ∈ [x / J]) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1))
   THEN (Assert (fst(bx[i1]) ∈ [x / J]) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜bx[j]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -2)
   THEN (GenConclTerm ⌜bx[i1]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -2)
   THEN RepUR ``A-face-image A-face-name`` 0) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. J : Cname List
5. K : Cname List
6. alpha : X(I)
7. f : name-morph(I;K)
8. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
9. x : nameset(I)
10. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
11. i : ℕ2
12. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
13. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
14. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
15. ¬(x ∈ J)
16. l_subset(Cname;J;I)
17. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
18. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
19. ∀i:ℕ||bx||. ∀j:ℕi.  (¬(A-face-name(bx[j]) = A-face-name(bx[i]) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
20. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
21. map(f;J) ∈ nameset(K) List
22. f x ∈ nameset(K)
23. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
24. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
25. i1 : ℕ||bx||
26. ∀j:ℕi1. (¬(A-face-name(bx[j]) = A-face-name(bx[i1]) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
27. j : ℕi1
28. x1 : nameset(I)
29. i2 : ℕ2
30. v2 : A((x1:=i2)(alpha))
31. bx[j] = <x1, i2, v2> ∈ A-face(X;A;I;alpha)
32. x2 : nameset(I)
33. i3 : ℕ2
34. v4 : A((x2:=i3)(alpha))
35. bx[i1] = <x2, i3, v4> ∈ A-face(X;A;I;alpha)
⊢ (x2 ∈ [x / J])
⇒ (x1 ∈ [x / J])
⇒ (¬(<x1, i2> = <x2, i3> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
⇒ (¬(<f x1, i2> = <f x2, i3> ∈ (nameset(K) × ℕ2)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  I  :  Cname  List
4.  J  :  Cname  List
5.  K  :  Cname  List
6.  alpha  :  X(I)
7.  f  :  name-morph(I;K)
8.  nameset(map(f;J))  \msubseteq{}r  nameset(K)
9.  x  :  nameset(I)
10.  \mforall{}x:nameset([x  /  J]).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
11.  i  :  \mBbbN{}2
12.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
13.  bx  :  A-face(X;A;I;alpha)  List
14.  A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
15.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
16.  l\_subset(Cname;J;I)
17.  (\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>))
\mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
18.  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
19.  \mforall{}i:\mBbbN{}||bx||.  \mforall{}j:\mBbbN{}i.    (\mneg{}(A-face-name(bx[j])  =  A-face-name(bx[i])))
20.  \mforall{}x:nameset(J).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
21.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
22.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
23.  \mforall{}fc:A-face(X;A;I;alpha).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (fst(fc)  \mmember{}  [x  /  J]))
24.  \mforall{}fc:A-face(X;A;I;alpha).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  (fst(fc)))))
25.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
26.  \mforall{}j:\mBbbN{}i1.  (\mneg{}(A-face-name(bx[j])  =  A-face-name(bx[i1])))
27.  j  :  \mBbbN{}i1
28.  \mneg{}(A-face-name(bx[j])  =  A-face-name(bx[i1]))
\mvdash{}  \mneg{}(A-face-name((\mlambda{}face.A-face-image(X;A;I;K;f;alpha;face))  bx[j])
=  A-face-name((\mlambda{}face.A-face-image(X;A;I;K;f;alpha;face))  bx[i1]))


By

---

Latex:
(Reduce  0
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  ((Assert  (fst(bx[j])  \mmember{}  [x  /  J])  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1))
  THEN  (Assert  (fst(bx[i1])  \mmember{}  [x  /  J])  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}bx[j]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}bx[i1]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
  THEN  RepUR  ``A-face-image  A-face-name``  0)

---

Home Index