---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma csm-Kan-cubical-identity


1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A : {X ⊢ _(Kan)}
5. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
6. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
7. ((Id_Kan-type(A) a b))s = (Id_Kan-type((A)s) (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
8. I : Cname List
9. alpha : Delta(I)
10. J : nameset(I) List
11. x : nameset(I)
12. i : ℕ2
13. x1 : A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i)
14. A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i) ⊆r A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;(s)alpha;J;x;i)
15. Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
16. Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
⊢ ((fst((Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1)))
= (fst((Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1)))
∈ Cname)
∧ ((snd((Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1)))
  = (snd((Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1)))
  ∈ Kan-type(A)(iota(fst((Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1)))((s)alpha)))
BY
{ (RepeatFor 2 (DVar `A')
   THEN All (RepUR ``Kan_id_filler Kan-type Kanfiller csm-Kan-cubical-type``)
   THEN D 0
   THEN EqCD
   THEN (Declaration ORELSE (BLemma `A-open-box-equal` THEN Auto) ORELSE (RepeatFor 4 (EqCD) THEN Auto))) }

1
.....wf..... 
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A1 : {X ⊢ _}
5. A2 : I:(Cname List)
⟶ alpha:X(I)
⟶ J:(nameset(I) List)
⟶ x:nameset(I)
⟶ i:ℕ2
⟶ A-open-box(X;A1;I;alpha;J;x;i)
⟶ A1(alpha)
6. let A,filler = <A1, A2> 
   in Kan-A-filler(X;A;filler) ∧ uniform-Kan-A-filler(X;A;filler)
7. a : {X ⊢ _:A1}
8. b : {X ⊢ _:A1}
9. ((Id_A1 a b))s = (Id_(A1)s (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
10. I : Cname List
11. alpha : Delta(I)
12. J : nameset(I) List
13. x : nameset(I)
14. i : ℕ2
15. x1 : A-open-box(Delta;((Id_A1 a b))s;I;alpha;J;x;i)
16. A-open-box(Delta;((Id_A1 a b))s;I;alpha;J;x;i) ⊆r A-open-box(X;(Id_A1 a b);I;(s)alpha;J;x;i)
17. <fresh-cname(I)
    , A2 [fresh-cname(I) / I] iota(fresh-cname(I))((s)alpha) [fresh-cname(I) / J] x i 
      cubical-id-box(X;A1;a;b;I;(s)alpha;x1)
    > ∈ I-path(X;A1;a;b;I;(s)alpha)
18. <fresh-cname(I)
    , A2 [fresh-cname(I) / I] (s)iota(fresh-cname(I))(alpha) [fresh-cname(I) / J] x i 
      cubical-id-box(Delta;(A1)s;(a)s;(b)s;I;alpha;x1)
    > ∈ I-path(X;A1;a;b;I;(s)alpha)
⊢ cubical-id-box(Delta;(A1)s;(a)s;(b)s;I;alpha;x1) ∈ A-face(X;A1;[fresh-cname(I) / 
                                                                  I];iota(fresh-cname(I))((s)alpha)) List

2
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A1 : {X ⊢ _}
5. A2 : I:(Cname List)
⟶ alpha:X(I)
⟶ J:(nameset(I) List)
⟶ x:nameset(I)
⟶ i:ℕ2
⟶ A-open-box(X;A1;I;alpha;J;x;i)
⟶ A1(alpha)
6. let A,filler = <A1, A2> 
   in Kan-A-filler(X;A;filler) ∧ uniform-Kan-A-filler(X;A;filler)
7. a : {X ⊢ _:A1}
8. b : {X ⊢ _:A1}
9. ((Id_A1 a b))s = (Id_(A1)s (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
10. I : Cname List
11. alpha : Delta(I)
12. J : nameset(I) List
13. x : nameset(I)
14. i : ℕ2
15. x1 : A-open-box(Delta;((Id_A1 a b))s;I;alpha;J;x;i)
16. A-open-box(Delta;((Id_A1 a b))s;I;alpha;J;x;i) ⊆r A-open-box(X;(Id_A1 a b);I;(s)alpha;J;x;i)
17. <fresh-cname(I)
    , A2 [fresh-cname(I) / I] iota(fresh-cname(I))((s)alpha) [fresh-cname(I) / J] x i 
      cubical-id-box(X;A1;a;b;I;(s)alpha;x1)
    > ∈ I-path(X;A1;a;b;I;(s)alpha)
18. <fresh-cname(I)
    , A2 [fresh-cname(I) / I] (s)iota(fresh-cname(I))(alpha) [fresh-cname(I) / J] x i 
      cubical-id-box(Delta;(A1)s;(a)s;(b)s;I;alpha;x1)
    > ∈ I-path(X;A1;a;b;I;(s)alpha)
⊢ cubical-id-box(X;A1;a;b;I;(s)alpha;x1)
= cubical-id-box(Delta;(A1)s;(a)s;(b)s;I;alpha;x1)
∈ (A-face(X;A1;[fresh-cname(I) / I];iota(fresh-cname(I))((s)alpha)) List)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
4.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
5.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
6.  b  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
7.  ((Id\_Kan-type(A)  a  b))s  =  (Id\_Kan-type((A)s)  (a)s  (b)s)
8.  I  :  Cname  List
9.  alpha  :  Delta(I)
10.  J  :  nameset(I)  List
11.  x  :  nameset(I)
12.  i  :  \mBbbN{}2
13.  x1  :  A-open-box(Delta;((Id\_Kan-type(A)  a  b))s;I;alpha;J;x;i)
14.  A-open-box(Delta;((Id\_Kan-type(A)  a  b))s;I;alpha;J;x;i)
            \msubseteq{}r  A-open-box(X;(Id\_Kan-type(A)  a  b);I;(s)alpha;J;x;i)
15.  Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  I  (s)alpha  J  x  i  x1  \mmember{}  I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
16.  Kan\_id\_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s)  I  alpha  J  x  i  x1  \mmember{}  I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
\mvdash{}  ((fst((Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  I  (s)alpha  J  x  i  x1)))
=  (fst((Kan\_id\_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s)  I  alpha  J  x  i  x1))))
\mwedge{}  ((snd((Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  I  (s)alpha  J  x  i  x1)))
    =  (snd((Kan\_id\_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s)  I  alpha  J  x  i  x1))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (DVar  `A')
  THEN  All  (RepUR  ``Kan\_id\_filler  Kan-type  Kanfiller  csm-Kan-cubical-type``)
  THEN  D  0
  THEN  EqCD
  THEN  (Declaration
              ORELSE  (BLemma  `A-open-box-equal`  THEN  Auto)
              ORELSE  (RepeatFor  4  (EqCD)  THEN  Auto)))

---

Home Index