---

Step * 2 of Lemma csm-Kan-cubical-type_wf


1. Delta : CubicalSet
2. Gamma : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ Gamma
4. A : {Gamma ⊢ _}
5. filler : I:(Cname List)
⟶ alpha:Gamma(I)
⟶ J:(nameset(I) List)
⟶ x:nameset(I)
⟶ i:ℕ2
⟶ A-open-box(Gamma;A;I;alpha;J;x;i)
⟶ A(alpha)
6. Kan-A-filler(Gamma;A;filler) ∧ uniform-Kan-A-filler(Gamma;A;filler)
⊢ Kan-A-filler(Delta;(A)s;λI,alpha. (filler I (s)alpha)) ∧ uniform-Kan-A-filler(Delta;(A)s;λI,alpha. (filler I (s)alpha)\000C)
BY
{ TACTIC:(RepeatFor 2 (ParallelLast) THEN Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. Delta : CubicalSet
2. Gamma : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ Gamma
4. A : {Gamma ⊢ _}
5. filler : I:(Cname List)
⟶ alpha:Gamma(I)
⟶ J:(nameset(I) List)
⟶ x:nameset(I)
⟶ i:ℕ2
⟶ A-open-box(Gamma;A;I;alpha;J;x;i)
⟶ A(alpha)
6. uniform-Kan-A-filler(Gamma;A;filler)
7. ∀I:Cname List. ∀alpha:Gamma(I). ∀J:nameset(I) List. ∀x:nameset(I). ∀i:ℕ2. ∀bx:A-open-box(Gamma;A;I;alpha;J;x;i).
     fills-A-open-box(Gamma;A;I;alpha;bx;filler I alpha J x i bx)
8. I : Cname List
9. alpha : Delta(I)
10. J : nameset(I) List
11. x : nameset(I)
12. i : ℕ2
13. bx : A-open-box(Delta;(A)s;I;alpha;J;x;i)
⊢ fills-A-open-box(Delta;(A)s;I;alpha;bx;filler I (s)alpha J x i bx)

2
1. Delta : CubicalSet
2. Gamma : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ Gamma
4. A : {Gamma ⊢ _}
5. filler : I:(Cname List)
⟶ alpha:Gamma(I)
⟶ J:(nameset(I) List)
⟶ x:nameset(I)
⟶ i:ℕ2
⟶ A-open-box(Gamma;A;I;alpha;J;x;i)
⟶ A(alpha)
6. Kan-A-filler(Gamma;A;filler)
7. ∀I:Cname List. ∀alpha:Gamma(I). ∀J:nameset(I) List. ∀x:nameset(I). ∀i:ℕ2. ∀bx:A-open-box(Gamma;A;I;alpha;J;x;i).
   ∀K:Cname List. ∀f:name-morph(I;K).
     ((∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i))))
     ⇒ (↑isname(f x))
     ⇒ ((filler I alpha J x i bx alpha f)
        = (filler K f(alpha) map(f;J) (f x) i A-open-box-image(Gamma;A;I;K;f;alpha;bx))
        ∈ A(f(alpha))))
8. I : Cname List
9. alpha : Delta(I)
10. J : nameset(I) List
11. x : nameset(I)
12. i : ℕ2
13. bx : A-open-box(Delta;(A)s;I;alpha;J;x;i)
14. K : Cname List
15. f : name-morph(I;K)
16. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
17. ↑isname(f x)
⊢ (filler I (s)alpha J x i bx alpha f)
= (filler K (s)f(alpha) map(f;J) (f x) i A-open-box-image(Delta;(A)s;I;K;f;alpha;bx))
∈ (A)s(f(alpha))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Delta  :  CubicalSet
2.  Gamma  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  Gamma
4.  A  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_\}
5.  filler  :  I:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  alpha:Gamma(I)
{}\mrightarrow{}  J:(nameset(I)  List)
{}\mrightarrow{}  x:nameset(I)
{}\mrightarrow{}  i:\mBbbN{}2
{}\mrightarrow{}  A-open-box(Gamma;A;I;alpha;J;x;i)
{}\mrightarrow{}  A(alpha)
6.  Kan-A-filler(Gamma;A;filler)  \mwedge{}  uniform-Kan-A-filler(Gamma;A;filler)
\mvdash{}  Kan-A-filler(Delta;(A)s;\mlambda{}I,alpha.  (filler  I  (s)alpha))
\mwedge{}  uniform-Kan-A-filler(Delta;(A)s;\mlambda{}I,alpha.  (filler  I  (s)alpha))


By

---

Latex:
TACTIC:(RepeatFor  2  (ParallelLast)  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index