---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma cubical-app_wf

.....fun wf..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. A@0 : I:(Cname List) ⟶ X.A(I) ⟶ Type
4. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
5. (∀I:Cname List. ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a))))
6. X.A ⊢ <A@0, B1>
7. w : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ cubical-pi-family(X;A;<A@0, B1>;I;a)
8. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  ((λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;A;<A@0, \000CB1>;J;f(a)))
9. u : {X ⊢ _:A}
10. I : Cname List@i
11. J : Cname List@i
12. f : name-morph(I;J)@i
13. a : X(I)@i
14. (λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;A;<A@0, B1>;J;f(a))
15. Z : cubical-pi-family(X;A;<A@0, B1>;J;f(a))
⊢ (Z J 1) = (Z J 1) ∈ (u:A(f(a)) ⟶ <A@0, B1>((f(a);u)))
BY
{ TACTIC:(D -1 THEN Fold `member` 0) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. A@0 : I:(Cname List) ⟶ X.A(I) ⟶ Type
4. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
5. (∀I:Cname List. ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a))))
6. X.A ⊢ <A@0, B1>
7. w : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ cubical-pi-family(X;A;<A@0, B1>;I;a)
8. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  ((λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;A;<A@0, \000CB1>;J;f(a)))
9. u : {X ⊢ _:A}
10. I : Cname List@i
11. J : Cname List@i
12. f : name-morph(I;J)@i
13. a : X(I)@i
14. (λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;A;<A@0, B1>;J;f(a))
15. Z : J@0:(Cname List) ⟶ f@0:name-morph(J;J@0) ⟶ u:A(f@0(f(a))) ⟶ <A@0, B1>((f@0(f(a));u))
16. ∀J@0,K:Cname List. ∀f@0:name-morph(J;J@0). ∀g:name-morph(J@0;K). ∀u:A(f@0(f(a))).
      ((Z J@0 f@0 u (f@0(f(a));u) g) = (Z K (f@0 o g) (u f@0(f(a)) g)) ∈ <A@0, B1>(g((f@0(f(a));u))))
⊢ Z J 1 ∈ u:A(f(a)) ⟶ <A@0, B1>((f(a);u))

---

Latex:

---

Latex:
.....fun  wf..... 
1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  A@0  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X.A(I)  {}\mrightarrow{}  Type
4.  B1  :  I:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)
{}\mrightarrow{}  a:X.A(I)
{}\mrightarrow{}  (A@0  I  a)
{}\mrightarrow{}  (A@0  J  f(a))
5.  (\mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.    ((B1  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.
          ((B1  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (B1  J  K  g  f(a)  (B1  I  J  f  a  u))))
6.  X.A  \mvdash{}  <A@0,  B1>
7.  w  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  cubical-pi-family(X;A;<A@0,  B1>I;a)
8.  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).    ((\mlambda{}K,g.  (w  I  a  K  (f  o  g)))  =  (w  J  f(a)))
9.  u  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
10.  I  :  Cname  List@i
11.  J  :  Cname  List@i
12.  f  :  name-morph(I;J)@i
13.  a  :  X(I)@i
14.  (\mlambda{}K,g.  (w  I  a  K  (f  o  g)))  =  (w  J  f(a))
15.  Z  :  cubical-pi-family(X;A;<A@0,  B1>J;f(a))
\mvdash{}  (Z  J  1)  =  (Z  J  1)


By

---

Latex:
TACTIC:(D  -1  THEN  Fold  `member`  0)

---

Home Index