---

Step * 1 1 1 1 of Lemma cubical-eta


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
4. w : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ cubical-pi-family(X;A;B;I;a)
5. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  let A,F = ΠA B in (F I J f a (w I a)) = (w J f(a)) ∈ (A J f(a))
6. I : Cname List
7. a : X(I)
8. (w I a) = (w I a) ∈ (J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ u:A(f(a)) ⟶ B((f(a);u)))
9. ∀J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀u:A(f(a)).
     ((w I a J f u (f(a);u) g) = (w I a K (f o g) (u f(a) g)) ∈ B(g((f(a);u))))
10. J : Cname List
11. f : name-morph(I;J)
12. u : A(f(a))
⊢ (w I a J f u) = (w J f(a) J 1 u) ∈ B(<f(a), u>)
BY
{ xxxOnMaybeHyp 5 (\h. (RepUR ``cubical-pi`` h THEN (InstHyp [⌜I⌝;⌜J⌝;⌜f⌝;⌜a⌝] h⋅ THENA Auto)))xxx }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
4. w : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ cubical-pi-family(X;A;B;I;a)
5. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  ((λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;A;B;J;f(\000Ca)))
6. I : Cname List
7. a : X(I)
8. (w I a) = (w I a) ∈ (J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ u:A(f(a)) ⟶ B((f(a);u)))
9. ∀J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀u:A(f(a)).
     ((w I a J f u (f(a);u) g) = (w I a K (f o g) (u f(a) g)) ∈ B(g((f(a);u))))
10. J : Cname List
11. f : name-morph(I;J)
12. u : A(f(a))
13. (λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;A;B;J;f(a))
⊢ (w I a J f u) = (w J f(a) J 1 u) ∈ B(<f(a), u>)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
4.  w  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  cubical-pi-family(X;A;B;I;a)
5.  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).    let  A,F  =  \mPi{}A  B  in  (F  I  J  f  a  (w  I  a))  =  (w  J  f(a))
6.  I  :  Cname  List
7.  a  :  X(I)
8.  (w  I  a)  =  (w  I  a)
9.  \mforall{}J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}u:A(f(a)).
          ((w  I  a  J  f  u  (f(a);u)  g)  =  (w  I  a  K  (f  o  g)  (u  f(a)  g)))
10.  J  :  Cname  List
11.  f  :  name-morph(I;J)
12.  u  :  A(f(a))
\mvdash{}  (w  I  a  J  f  u)  =  (w  J  f(a)  J  1  u)


By

---

Latex:
xxxOnMaybeHyp  5  (\mbackslash{}h.  (RepUR  ``cubical-pi``  h  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THENA  Auto)))xxx

---

Home Index