---

Step * 1 2 of Lemma cubical-pair_wf

.....set predicate..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
4. u : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ ((fst(A)) I a)
5. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  let A,F = A in (F I J f a (u I a)) = (u J f(a)) ∈ (A J f(a))
6. v : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ ((fst((B)[u])) I a)
7. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  let A,F = (B)[u] in (F I J f a (v I a)) = (v J f(a)) ∈ (A J f(a))
8. u ∈ {X ⊢ _:A}
⊢ ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).
    let A,F = Σ A B 
    in (F I J f a ((λI,a. <u I a, v I a>) I a)) = ((λI,a. <u I a, v I a>) J f(a)) ∈ (A J f(a))
BY
{ xxx(PromoteHyp (-1) 5
      THEN RepUR ``cubical-sigma`` 0
      THEN AllHyps (\h. Fold `cubical-type-at` h)
      THEN Auto
      THEN EqCD
      THEN Auto
      THEN (Assert X ⊢ A BY
                  Auto)
      THEN PromoteHyp (-1) 3
      THEN RepeatFor 2 (DVar `A')
      THEN All Reduce
      THEN RepUR ``cubical-type-ap-morph cubical-type-at`` 0
      THEN Auto
      THEN (InstHyp [⌜I⌝;⌜J⌝;⌜f⌝;⌜a⌝] (-5)⋅ THENA Auto))xxx }

1
1. X : CubicalSet
2. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
5. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
6. X ⊢ <A1, A2>
7. B : {X.<A1, A2> ⊢ _}
8. u : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ <A1, A2>(a)
9. u ∈ {X ⊢ _:<A1, A2>}
10. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  ((A2 I J f a (u I a)) = (u J f(a)) ∈ (A1 J f(a)))
11. v : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ (B)[u](a)
12. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  let A,F = (B)[u] in (F I J f a (v I a)) = (v J f(a)) ∈ (A J f(a))
13. I : Cname List
14. J : Cname List
15. f : name-morph(I;J)
16. a : X(I)
17. let A,F = (B)[u] 
    in (F I J f a (v I a)) = (v J f(a)) ∈ (A J f(a))
⊢ ((snd(B)) I J f (a;u I a) (v I a)) = (v J f(a)) ∈ ((fst(B)) J (f(a);A2 I J f a (u I a)))

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
4.  u  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  ((fst(A))  I  a)
5.  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).    let  A,F  =  A  in  (F  I  J  f  a  (u  I  a))  =  (u  J  f(a))
6.  v  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  ((fst((B)[u]))  I  a)
7.  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).
          let  A,F  =  (B)[u] 
          in  (F  I  J  f  a  (v  I  a))  =  (v  J  f(a))
8.  u  \mmember{}  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
\mvdash{}  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).
        let  A,F  =  \mSigma{}  A  B 
        in  (F  I  J  f  a  ((\mlambda{}I,a.  <u  I  a,  v  I  a>)  I  a))  =  ((\mlambda{}I,a.  <u  I  a,  v  I  a>)  J  f(a))


By

---

Latex:
xxx(PromoteHyp  (-1)  5
        THEN  RepUR  ``cubical-sigma``  0
        THEN  AllHyps  (\mbackslash{}h.  Fold  `cubical-type-at`  h)
        THEN  Auto
        THEN  EqCD
        THEN  Auto
        THEN  (Assert  X  \mvdash{}  A  BY
                                Auto)
        THEN  PromoteHyp  (-1)  3
        THEN  RepeatFor  2  (DVar  `A')
        THEN  All  Reduce
        THEN  RepUR  ``cubical-type-ap-morph  cubical-type-at``  0
        THEN  Auto
        THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto))xxx

---

Home Index