---

Step * of Lemma cubical-pi_wf

∀[X:CubicalSet]. ∀[A:{X ⊢ _}]. ∀[B:{X.A ⊢ _}].  X ⊢ ΠA B
BY
{ (Auto THEN Unfold `cubical-pi` 0 THEN MemTypeCD) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
⊢ <λI,a. cubical-pi-family(X;A;B;I;a), λI,J,f,a,w,K,g. (w K (f o g))> ∈ A:I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type × (I:(Cname Lis\000Ct)
                                                                                         ⟶ J:(Cname List)
                                                                                         ⟶ f:name-morph(I;J)
                                                                                         ⟶ a:X(I)
                                                                                         ⟶ (A I a)
                                                                                         ⟶ (A J f(a)))

2
.....set predicate..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
⊢ let A,F = <λI,a. cubical-pi-family(X;A;B;I;a), λI,J,f,a,w,K,g. (w K (f o g))> 
  in (∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
     ∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A I a.
          ((F I K (f o g) a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K (f o g)(a))))

3
.....wf..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
4. AF : A:I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type × (I:(Cname List)
                                           ⟶ J:(Cname List)
                                           ⟶ f:name-morph(I;J)
                                           ⟶ a:X(I)
                                           ⟶ (A I a)
                                           ⟶ (A J f(a)))
⊢ let A,F = AF 
  in (∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
     ∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A I a.
          ((F I K (f o g) a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K (f o g)(a)))) ∈ Type

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:CubicalSet].  \mforall{}[A:\{X  \mvdash{}  \_\}].  \mforall{}[B:\{X.A  \mvdash{}  \_\}].    X  \mvdash{}  \mPi{}A  B


By

---

Latex:
(Auto  THEN  Unfold  `cubical-pi`  0  THEN  MemTypeCD)

---

Home Index