---

Step * 1 2 of Lemma get_face_wf


1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. ∀[J:nameset(I) List]. ∀[x:nameset(I)]. ∀[i:ℕ2].
     ∀bx:open_box(X;I;J;x;i). ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.
       (¬(filter(λf.((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c));bx)
       = []
       ∈ ({f:{f:I-face(X;I)| (f ∈ bx)} | ↑((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c))}  List)))
4. J : Cname List
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. box : open_box(X;I;J;x;i)
8. y : nameset(J)
9. c : ℕ2
10. J ∈ nameset(I) List
⊢ get_face(y;c;box) ∈ {f:I-face(X;I)| (f ∈ box) ∧ (face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))} 
BY
{ ((InstHyp [⌜J⌝;⌜x⌝;⌜i⌝;⌜box⌝;⌜y⌝;⌜c⌝] 3⋅ THENA Auto)
   THEN Unfold `get_face` 0
   THEN (InstLemma `filter_type` [⌜{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} ⌝;⌜λf.((fst(f) =z y) ∧b (fst(snd(f)) =z c))⌝;⌜box⌝]⋅
         THENA Auto
         )
   THEN Reduce (-1)
   THEN DoSubsume) }

1
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. ∀[J:nameset(I) List]. ∀[x:nameset(I)]. ∀[i:ℕ2].
     ∀bx:open_box(X;I;J;x;i). ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.
       (¬(filter(λf.((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c));bx)
       = []
       ∈ ({f:{f:I-face(X;I)| (f ∈ bx)} | ↑((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c))}  List)))
4. J : Cname List
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. box : open_box(X;I;J;x;i)
8. y : nameset(J)
9. c : ℕ2
10. J ∈ nameset(I) List
11. ¬(filter(λf.((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c));box)
= []
∈ ({f:{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} | ↑((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c))}  List))
12. filter(λf.((fst(f) =z y) ∧b (fst(snd(f)) =z c));box) ∈ {x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} | 
                                                            ↑((fst(x) =z y) ∧b (fst(snd(x)) =z c))}  List
⊢ hd(filter(λf.((fst(f) =z y) ∧b (fst(snd(f)) =z c));box)) ∈ {x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} | 
                                                              ↑((fst(x) =z y) ∧b (fst(snd(x)) =z c))} 

2
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. ∀[J:nameset(I) List]. ∀[x:nameset(I)]. ∀[i:ℕ2].
     ∀bx:open_box(X;I;J;x;i). ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.
       (¬(filter(λf.((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c));bx)
       = []
       ∈ ({f:{f:I-face(X;I)| (f ∈ bx)} | ↑((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c))}  List)))
4. J : Cname List
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. box : open_box(X;I;J;x;i)
8. y : nameset(J)
9. c : ℕ2
10. J ∈ nameset(I) List
11. ¬(filter(λf.((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c));box)
= []
∈ ({f:{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} | ↑((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c))}  List))
12. filter(λf.((fst(f) =z y) ∧b (fst(snd(f)) =z c));box) ∈ {x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} | 
                                                            ↑((fst(x) =z y) ∧b (fst(snd(x)) =z c))}  List
13. hd(filter(λf.((fst(f) =z y) ∧b (fst(snd(f)) =z c));box))
= hd(filter(λf.((fst(f) =z y) ∧b (fst(snd(f)) =z c));box))
∈ {x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} | ↑((fst(x) =z y) ∧b (fst(snd(x)) =z c))} 
⊢ {x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ box)} | ↑((fst(x) =z y) ∧b (fst(snd(x)) =z c))}  ⊆r {f:I-face(X;I)| 
                                                                             (f ∈ box)
                                                                             ∧ (face-name(f)
                                                                               = <y, c>
                                                                               ∈ (nameset(I) × ℕ2))} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  I  :  Cname  List
3.  \mforall{}[J:nameset(I)  List].  \mforall{}[x:nameset(I)].  \mforall{}[i:\mBbbN{}2].
          \mforall{}bx:open\_box(X;I;J;x;i).  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.
              (\mneg{}(filter(\mlambda{}f.((dimension(f)  =\msubz{}  y)  \mwedge{}\msubb{}  (direction(f)  =\msubz{}  c));bx)  =  []))
4.  J  :  Cname  List
5.  x  :  nameset(I)
6.  i  :  \mBbbN{}2
7.  box  :  open\_box(X;I;J;x;i)
8.  y  :  nameset(J)
9.  c  :  \mBbbN{}2
10.  J  \mmember{}  nameset(I)  List
\mvdash{}  get\_face(y;c;box)  \mmember{}  \{f:I-face(X;I)|  (f  \mmember{}  box)  \mwedge{}  (face-name(f)  =  <y,  c>)\} 


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}box\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `get\_face`  0
  THEN  (InstLemma  `filter\_type`  [\mkleeneopen{}\{f:I-face(X;I)|  (f  \mmember{}  box)\}  \mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}f.((fst(f)  =\msubz{}  y)
                                                                                                                                  \mwedge{}\msubb{}  (fst(snd(f))  =\msubz{}  c))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}box\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  DoSubsume)

---

Home Index