---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma length-open_box


1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(X;I) List
7. adjacent-compatible(X;I;box)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
16. λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi  ∈ ℕ||box||
    ⟶ (ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2))
17. a1 : ℕ||box||
18. a2 : ℕ||box||
19. (inl 0) = if eq-cname(dimension(box[a2]);x) then inl 0 else inr face-name(box[a2])  fi  ∈ (ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2))
20. dimension(box[a1]) = x ∈ Cname
21. dimension(box[a2]) = x ∈ Cname
⊢ face-name(box[a1]) = face-name(box[a2]) ∈ (nameset(I) × ℕ2)
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (Assert ¬(face-name(box[a1]) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)) BY
               OnMaybeHyp 12 (\h. (With ⌜a1⌝ (D h)⋅ THEN Complete (Auto))))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜box[a1]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -2)
   THEN (Assert ¬(face-name(box[a2]) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)) BY
               OnMaybeHyp 12 (\h. (With ⌜a2⌝ (D h)⋅ THEN Complete (Auto))))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜box[a2]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -2)
   THEN RepUR ``face-name face-dimension`` 0
   THEN Auto) }

1
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(X;I) List
7. adjacent-compatible(X;I;box)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
16. λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi  ∈ ℕ||box||
    ⟶ (ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2))
17. a1 : ℕ||box||
18. a2 : ℕ||box||
19. (inl 0) = if eq-cname(dimension(box[a2]);x) then inl 0 else inr face-name(box[a2])  fi  ∈ (ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2))
20. x1 : nameset(I)
21. v2 : ℕ2
22. v3 : X(I-[x1])
23. box[a1] = <x1, v2, v3> ∈ I-face(X;I)
24. x2 : nameset(I)
25. v5 : ℕ2
26. v6 : X(I-[x2])
27. box[a2] = <x2, v5, v6> ∈ I-face(X;I)
28. ¬(<x2, v5> = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
29. ¬(<x1, v2> = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
30. x1 = x ∈ Cname
31. x2 = x ∈ Cname
⊢ <x1, v2> = <x2, v5> ∈ (nameset(I) × ℕ2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  I-face(X;I)  List
7.  adjacent-compatible(X;I;box)
8.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
9.  l\_subset(Cname;J;I)
10.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <y,  c>)
11.  (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <x,  i>)
12.  (\mforall{}f\mmember{}box.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
13.  (\mforall{}f\mmember{}box.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
14.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}box.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
15.  CnameDeq  \mmember{}  EqDecider(nameset(I))
16.  \mlambda{}i.if  eq-cname(dimension(box[i]);x)  then  inl  0  else  inr  face-name(box[i])    fi    \mmember{}  \mBbbN{}||box||
        {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}1  +  (nameset(J)  \mtimes{}  \mBbbN{}2))
17.  a1  :  \mBbbN{}||box||
18.  a2  :  \mBbbN{}||box||
19.  (inl  0)  =  if  eq-cname(dimension(box[a2]);x)  then  inl  0  else  inr  face-name(box[a2])    fi 
20.  dimension(box[a1])  =  x
21.  dimension(box[a2])  =  x
\mvdash{}  face-name(box[a1])  =  face-name(box[a2])


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (Assert  \mneg{}(face-name(box[a1])  =  <x,  1  -  i>)  BY
                          OnMaybeHyp  12  (\mbackslash{}h.  (With  \mkleeneopen{}a1\mkleeneclose{}  (D  h)\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto))))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}box[a1]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
  THEN  (Assert  \mneg{}(face-name(box[a2])  =  <x,  1  -  i>)  BY
                          OnMaybeHyp  12  (\mbackslash{}h.  (With  \mkleeneopen{}a2\mkleeneclose{}  (D  h)\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto))))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}box[a2]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
  THEN  RepUR  ``face-name  face-dimension``  0
  THEN  Auto)

---

Home Index