---

Step * 2 1 2 of Lemma nerve_box_edge1_wf


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(J)
5. x : nameset(I)
6. i : ℤ
7. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
8. y : nameset(I)
9. c : name-morph(I;[])
10. c x ≠ 1
11. (c y) = 0 ∈ ℕ2
12. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
13. ¬↑null(J)
14. y = j ∈ Cname
15. ¬(x = y ∈ Cname)
16. i = 1 ∈ ℤ
⊢ groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;c);nerve_box_label(box;flip(c;y));
  nerve_box_label(box;flip(c;x));nerve_box_label(box;flip(flip(c;y);x));nerve_box_edge(box;flip(c;y);x);
  nerve_box_edge(box;c;x);nerve_box_edge(box;flip(c;x);y)) ∈ cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;c) 
                                                             nerve_box_label(box;flip(c;y))
BY
{ ((Assert (c x) = 0 ∈ ℕ2 BY
          (MoveToConcl (-5) THEN (GenConcl ⌜(c x) = z ∈ ℕ2⌝⋅ THENA Auto) THEN IntSegCases (-2) THEN Auto))
   THEN (Assert flip(flip(c;x);x) = c ∈ name-morph(I;[]) BY
               (BLemma  `name-morph-ext` THEN Auto))
   THEN ((Assert (flip(c;x) y) = 0 ∈ ℕ2 BY
                (RepUR ``name-morph-flip`` 0 THEN AutoSplit))
         THEN (Assert (flip(c;y) x) = 0 ∈ ℕ2 BY
                     (RepUR ``name-morph-flip`` 0 THEN AutoSplit))
         )
   THEN (Assert (flip(c;x) x) = 1 ∈ ℕ2 BY
               (RepUR ``name-morph-flip`` 0 THEN AutoSplit THEN SubstFor ⌜c x⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (Assert (∃j∈J. ¬(j = x ∈ Cname)) BY
               (With ⌜0⌝ (D 0)⋅ THEN Auto THEN (D 0 THENA Auto) THEN DVar `box' THEN Auto))) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(J)
5. x : nameset(I)
6. i : ℤ
7. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
8. y : nameset(I)
9. c : name-morph(I;[])
10. c x ≠ 1
11. (c y) = 0 ∈ ℕ2
12. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
13. ¬↑null(J)
14. y = j ∈ Cname
15. ¬(x = y ∈ Cname)
16. i = 1 ∈ ℤ
17. (c x) = 0 ∈ ℕ2
18. flip(flip(c;x);x) = c ∈ name-morph(I;[])
19. (flip(c;x) y) = 0 ∈ ℕ2
20. (flip(c;y) x) = 0 ∈ ℕ2
21. (flip(c;x) x) = 1 ∈ ℕ2
22. (∃j∈J. ¬(j = x ∈ Cname))
⊢ groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;c);nerve_box_label(box;flip(c;y));
  nerve_box_label(box;flip(c;x));nerve_box_label(box;flip(flip(c;y);x));nerve_box_edge(box;flip(c;y);x);
  nerve_box_edge(box;c;x);nerve_box_edge(box;flip(c;x);y)) ∈ cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;c) 
                                                             nerve_box_label(box;flip(c;y))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  j  :  nameset(J)
5.  x  :  nameset(I)
6.  i  :  \mBbbZ{}
7.  box  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
8.  y  :  nameset(I)
9.  c  :  name-morph(I;[])
10.  c  x  \mneq{}  1
11.  (c  y)  =  0
12.  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  j)
13.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
14.  y  =  j
15.  \mneg{}(x  =  y)
16.  i  =  1
\mvdash{}  groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(box;c);nerve\_box\_label(box;flip(c;y));
    nerve\_box\_label(box;flip(c;x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(c;y);x));
    nerve\_box\_edge(box;flip(c;y);x);nerve\_box\_edge(box;c;x);nerve\_box\_edge(box;flip(c;x);y))
    \mmember{}  cat-arrow(cat(G))  nerve\_box\_label(box;c)  nerve\_box\_label(box;flip(c;y))


By

---

Latex:
((Assert  (c  x)  =  0  BY
                (MoveToConcl  (-5)  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(c  x)  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  IntSegCases  (-2)  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  flip(flip(c;x);x)  =  c  BY
                          (BLemma    `name-morph-ext`  THEN  Auto))
  THEN  ((Assert  (flip(c;x)  y)  =  0  BY
                            (RepUR  ``name-morph-flip``  0  THEN  AutoSplit))
              THEN  (Assert  (flip(c;y)  x)  =  0  BY
                                      (RepUR  ``name-morph-flip``  0  THEN  AutoSplit))
              )
  THEN  (Assert  (flip(c;x)  x)  =  1  BY
                          (RepUR  ``name-morph-flip``  0  THEN  AutoSplit  THEN  SubstFor  \mkleeneopen{}c  x\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  (\mexists{}j\mmember{}J.  \mneg{}(j  =  x))  BY
                          (With  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  (D  0  THENA  Auto)  THEN  DVar  `box'  THEN  Auto)))

---

Home Index