---

Step * 1 2 1 1 of Lemma nerve_box_edge_same1

.....aux..... 
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(cubical-nerve(C);I) List
7. [%24] : adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
8. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
9. y : nameset(I)
10. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
11. (∃j∈J. ¬(j = y ∈ Cname)) ∨ (((c x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J)))
12. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
13. (f ∈ box)
14. direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2
15. direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2
16. g : I-face(cubical-nerve(C);I)
17. (g ∈ box)
18. direction(g) = (c dimension(g)) ∈ ℕ2
19. direction(g) = (flip(c;y) dimension(g)) ∈ ℕ2
20. nerve-box-common-face(box;c;y)
= g
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
21. ¬↑null(J)
22. (cube(g) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
23. (cube(g) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
24. ¬(dimension(g) = dimension(f) ∈ Cname)
⊢ adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
BY
{ (Unhide THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(cubical-nerve(C);I) List
7. [%24] : adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
8. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
9. y : nameset(I)
10. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
11. (∃j∈J. ¬(j = y ∈ Cname)) ∨ (((c x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J)))
12. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
13. (f ∈ box)
14. direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2
15. direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2
16. g : I-face(cubical-nerve(C);I)
17. (g ∈ box)
18. direction(g) = (c dimension(g)) ∈ ℕ2
19. direction(g) = (flip(c;y) dimension(g)) ∈ ℕ2
20. nerve-box-common-face(box;c;y)
= g
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
21. ¬↑null(J)
22. (cube(g) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
23. (cube(g) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
24. ¬(dimension(g) = dimension(f) ∈ Cname)
⊢ SqStable(adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box))

---

Latex:

---

Latex:
.....aux..... 
1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  I-face(cubical-nerve(C);I)  List
7.  [\%24]  :  adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
\mwedge{}  (\mneg{}(x  \mmember{}  J))
\mwedge{}  l\_subset(Cname;J;I)
\mwedge{}  ((\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <y,  c>))
    \mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <x,  i>)
    \mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}box.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>)))
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}box.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
\mwedge{}  (\mforall{}f1,f2\mmember{}box.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
8.  \mforall{}[L:name-morph(I;[])]
          \mforall{}f:I-face(cubical-nerve(C);I)
              ((cube(f)  L)  =  nerve\_box\_label(box;L))  supposing 
                    ((f  \mmember{}  box)  and 
                    (direction(f)  =  (L  dimension(f)))) 
          supposing  ((L  x)  =  i)  \mvee{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J))
9.  y  :  nameset(I)
10.  c  :  \{c:name-morph(I;[])|  (c  y)  =  0\} 
11.  (\mexists{}j\mmember{}J.  \mneg{}(j  =  y))  \mvee{}  (((c  x)  =  i)  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J)))
12.  f  :  I-face(cubical-nerve(C);I)
13.  (f  \mmember{}  box)
14.  direction(f)  =  (c  dimension(f))
15.  direction(f)  =  (flip(c;y)  dimension(f))
16.  g  :  I-face(cubical-nerve(C);I)
17.  (g  \mmember{}  box)
18.  direction(g)  =  (c  dimension(g))
19.  direction(g)  =  (flip(c;y)  dimension(g))
20.  nerve-box-common-face(box;c;y)  =  g
21.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
22.  (cube(g)  c)  =  nerve\_box\_label(box;c)
23.  (cube(g)  flip(c;y))  =  nerve\_box\_label(box;flip(c;y))
24.  \mneg{}(dimension(g)  =  dimension(f))
\mvdash{}  adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)


By

---

Latex:
(Unhide  THEN  Auto)

---

Home Index