---

Step * 1 2 2 1 of Lemma nerve_box_edge_same1


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((snd(snd(f)) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          ((fst(snd(f))) = (L (fst(f))) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. (∃j∈J. ¬(j = y ∈ Cname)) ∨ (((c x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J)))
11. x1 : nameset(I)
12. f2 : ℕ2
13. f3 : cubical-nerve(C)(I-[x1])
14. (<x1, f2, f3> ∈ box)
15. f2 = (c x1) ∈ ℕ2
16. f2 = (flip(c;y) x1) ∈ ℕ2
17. x2 : nameset(I)
18. g2 : ℕ2
19. g3 : cubical-nerve(C)(I-[x2])
20. (<x2, g2, g3> ∈ box)
21. g2 = (c x2) ∈ ℕ2
22. g2 = (flip(c;y) x2) ∈ ℕ2
23. nerve-box-common-face(box;c;y)
= <x2, g2, g3>
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ ((fst(snd(f))) = (c (fst(f))) ∈ ℕ2) ∧ ((fst(snd(f))) = (flip(c;y) (fst(f))) ∈ ℕ2)} 
24. ¬↑null(J)
25. (g3 c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
26. (g3 flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
27. ¬(x2 = x1 ∈ Cname)
28. (¬(x1 = x2 ∈ Cname)) ⇒ ((x2:=g2)(f3) = (x1:=f2)(g3) ∈ cubical-nerve(C)(I-[x1; x2]))
⊢ (f3 c flip(c;y) (λx.Ax)) = (g3 c flip(c;y) (λx.Ax)) ∈ (cat-arrow(C) (g3 c) (g3 flip(c;y)))
BY
{ (∀h:hyp. (Unfold `face-name` h
            THEN Reduce h
            THEN (EqHD h THENA Auto)
            THEN (Reduce h THEN HypSubst' h (-1))
            THEN Reduce (h+1)
            THEN HypSubst' (h+1) (-1)) 
   THEN (D -1 THENA Auto)
   THEN RepUR ``cube-set-restriction cubical-nerve`` -1
   THEN ∀h:hyp. (RWO  "cubical-nerve-I-cube" h THENA Auto) 
   THEN RepUR ``I-cube functor-ob`` (-1)) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((snd(snd(f)) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          ((fst(snd(f))) = (L (fst(f))) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. (∃j∈J. ¬(j = y ∈ Cname)) ∨ (((c x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J)))
11. x1 : nameset(I)
12. f2 : ℕ2
13. f3 : Functor(poset-cat(I-[x1]);C)
14. (<x1, f2, f3> ∈ box)
15. f2 = (c x1) ∈ ℕ2
16. f2 = (flip(c;y) x1) ∈ ℕ2
17. x2 : nameset(I)
18. g2 : ℕ2
19. g3 : Functor(poset-cat(I-[x2]);C)
20. (<x2, g2, g3> ∈ box)
21. g2 = (c x2) ∈ ℕ2
22. g2 = (flip(c;y) x2) ∈ ℕ2
23. nerve-box-common-face(box;c;y)
= <x2, g2, g3>
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ ((fst(snd(f))) = (c (fst(f))) ∈ ℕ2) ∧ ((fst(snd(f))) = (flip(c;y) (fst(f))) ∈ ℕ2)} 
24. ¬↑null(J)
25. (g3 c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
26. (g3 flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
27. ¬(x2 = x1 ∈ Cname)
28. functor-comp(poset-functor(I-[x1];I-[x1; x2];(x2:=g2));f3)
= functor-comp(poset-functor(I-[x2];I-[x1; x2];(x1:=f2));g3)
∈ Functor(poset-cat(I-[x1; x2]);C)
⊢ (f3 c flip(c;y) (λx.Ax)) = (g3 c flip(c;y) (λx.Ax)) ∈ (cat-arrow(C) (g3 c) (g3 flip(c;y)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7.  \mforall{}[L:name-morph(I;[])]
          \mforall{}f:I-face(cubical-nerve(C);I)
              ((snd(snd(f))  L)  =  nerve\_box\_label(box;L))  supposing 
                    ((f  \mmember{}  box)  and 
                    ((fst(snd(f)))  =  (L  (fst(f))))) 
          supposing  ((L  x)  =  i)  \mvee{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J))
8.  y  :  nameset(I)
9.  c  :  \{c:name-morph(I;[])|  (c  y)  =  0\} 
10.  (\mexists{}j\mmember{}J.  \mneg{}(j  =  y))  \mvee{}  (((c  x)  =  i)  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J)))
11.  x1  :  nameset(I)
12.  f2  :  \mBbbN{}2
13.  f3  :  cubical-nerve(C)(I-[x1])
14.  (<x1,  f2,  f3>  \mmember{}  box)
15.  f2  =  (c  x1)
16.  f2  =  (flip(c;y)  x1)
17.  x2  :  nameset(I)
18.  g2  :  \mBbbN{}2
19.  g3  :  cubical-nerve(C)(I-[x2])
20.  (<x2,  g2,  g3>  \mmember{}  box)
21.  g2  =  (c  x2)
22.  g2  =  (flip(c;y)  x2)
23.  nerve-box-common-face(box;c;y)  =  <x2,  g2,  g3>
24.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
25.  (g3  c)  =  nerve\_box\_label(box;c)
26.  (g3  flip(c;y))  =  nerve\_box\_label(box;flip(c;y))
27.  \mneg{}(x2  =  x1)
28.  (\mneg{}(x1  =  x2))  {}\mRightarrow{}  ((x2:=g2)(f3)  =  (x1:=f2)(g3))
\mvdash{}  (f3  c  flip(c;y)  (\mlambda{}x.Ax))  =  (g3  c  flip(c;y)  (\mlambda{}x.Ax))


By

---

Latex:
(\mforall{}h:hyp.  (Unfold  `face-name`  h
                    THEN  Reduce  h
                    THEN  (EqHD  h  THENA  Auto)
                    THEN  (Reduce  h  THEN  HypSubst'  h  (-1))
                    THEN  Reduce  (h+1)
                    THEN  HypSubst'  (h+1)  (-1)) 
  THEN  (D  -1  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``cube-set-restriction  cubical-nerve``  -1
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (RWO    "cubical-nerve-I-cube"  h  THENA  Auto) 
  THEN  RepUR  ``I-cube  functor-ob``  (-1))

---

Home Index