---

Step * 1 1 1 of Lemma poset_functor_extend-extends


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. i : nameset(I)
6. c : name-morph(I;[])
7. (c i) = 0 ∈ ℕ2
8. filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I) ∈ {x:nameset(I)| ↑((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1))}  List
⊢ if null(filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I))
then cat-id(C) (L c)
else cat-comp(C) (L c) (L flip(c;hd(filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I)))) (L flip(c;i)) 
     (E hd(filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I)) c) 
     poset_functor_extend(C;I;L;E;flip(c;hd(filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I)));flip(c;i))
fi 
= (E i c)
∈ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
BY
{ ((GenConclTerm ⌜filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I)⌝⋅ THENA Auto) THEN D -2 THEN Reduce 0) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. i : nameset(I)
6. c : name-morph(I;[])
7. (c i) = 0 ∈ ℕ2
8. filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I) ∈ {x:nameset(I)| ↑((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1))}  List
9. filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I) = [] ∈ ({x:nameset(I)| ↑((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1))}  List)
⊢ (cat-id(C) (L c)) = (E i c) ∈ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))

2
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. i : nameset(I)
6. c : name-morph(I;[])
7. (c i) = 0 ∈ ℕ2
8. filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I) ∈ {x:nameset(I)| ↑((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1))}  List
9. u : {x:nameset(I)| ↑((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1))} 
10. v : {x:nameset(I)| ↑((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1))}  List
11. filter(λx.((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1));I)
= [u / v]
∈ ({x:nameset(I)| ↑((c x =z 0) ∧b (flip(c;i) x =z 1))}  List)
⊢ (cat-comp(C) (L c) (L flip(c;u)) (L flip(c;i)) (E u c) poset_functor_extend(C;I;L;E;flip(c;u);flip(c;i)))
= (E i c)
∈ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  i  :  nameset(I)
6.  c  :  name-morph(I;[])
7.  (c  i)  =  0
8.  filter(\mlambda{}x.((c  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (flip(c;i)  x  =\msubz{}  1));I)  \mmember{}  \{x:nameset(I)| 
                                                                                                            \muparrow{}((c  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (flip(c;i)  x  =\msubz{}  1))\}    List
\mvdash{}  if  null(filter(\mlambda{}x.((c  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (flip(c;i)  x  =\msubz{}  1));I))
then  cat-id(C)  (L  c)
else  cat-comp(C)  (L  c)  (L  flip(c;hd(filter(\mlambda{}x.((c  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (flip(c;i)  x  =\msubz{}  1));I)))) 
          (L  flip(c;i)) 
          (E  hd(filter(\mlambda{}x.((c  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (flip(c;i)  x  =\msubz{}  1));I))  c) 
          poset\_functor\_extend(C;I;L;E;flip(c;hd(filter(\mlambda{}x.((c  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (flip(c;i)  x  =\msubz{}  1));
                                                                                                      I)));flip(c;i))
fi 
=  (E  i  c)


By

---

Latex:
((GenConclTerm  \mkleeneopen{}filter(\mlambda{}x.((c  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (flip(c;i)  x  =\msubz{}  1));I)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -2
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index