---

Step * 1 of Lemma subtype-context-subset-0


1. X : CubicalSet{j}
2. Y : CubicalSet{j}
3. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
⊢ <A, x1> ∈ {AF:A:I:fset(ℕ) ⟶ {rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))}  ⟶ Type
             × (I:fset(ℕ)
               ⟶ J:fset(ℕ)
               ⟶ f:J ⟶ I
               ⟶ a:{rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} 
               ⟶ (A I a)
               ⟶ (A J f(a)))| 
             let A,F = AF 
             in (∀I:fset(ℕ). ∀a:{rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} . ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
                ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:{rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} . ∀u:A I a.
                     ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))} 
BY
{ At ⌜𝕌'⌝ MemTypeCD⋅ }

1
1. X : CubicalSet{j}
2. Y : CubicalSet{j}
3. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
⊢ <A, x1> ∈ A:I:fset(ℕ) ⟶ {rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))}  ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                                                                ⟶ J:fset(ℕ)
                                                                                ⟶ f:J ⟶ I
                                                                                ⟶ a:{rho:Y(I)| 
                                                                                      0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} 
                                                                                ⟶ (A I a)
                                                                                ⟶ (A J f(a)))

2
.....set predicate..... 
1. X : CubicalSet{j}
2. Y : CubicalSet{j}
3. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
⊢ let A,F = <A, x1> 
  in (∀I:fset(ℕ). ∀a:{rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} . ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
     ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:{rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} . ∀u:A I a.
          ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))

3
.....wf..... 
1. X : CubicalSet{j}
2. Y : CubicalSet{j}
3. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
5. AF : A:I:fset(ℕ) ⟶ {rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))}  ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                                                            ⟶ J:fset(ℕ)
                                                                            ⟶ f:J ⟶ I
                                                                            ⟶ a:{rho:Y(I)| 
                                                                                  0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} 
                                                                            ⟶ (A I a)
                                                                            ⟶ (A J f(a)))
⊢ istype(let A,F = AF 
         in (∀I:fset(ℕ). ∀a:{rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} . ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
            ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:{rho:Y(I)| 0 = 1 ∈ Point(face_lattice(I))} . ∀u:A I a.
                 ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet\{j\}
2.  Y  :  CubicalSet\{j\}
3.  A  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
4.  x1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
\mvdash{}  <A,  x1>  \mmember{}  \{AF:A:I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \{rho:Y(I)|  0  =  1\}    {}\mrightarrow{}  Type  \mtimes{}  (I:fset(\mBbbN{})
                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})
                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I
                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  a:\{rho:Y(I)|  0  =  1\} 
                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  (A  I  a)
                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a)))| 
                          let  A,F  =  AF 
                          in  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:\{rho:Y(I)|  0  =  1\}  .  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  1  a  u)  =  u))
                                \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:\{rho:Y(I)|  0  =  1\}  .  \mforall{}u:A  I  a.
                                          ((F  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))\} 


By

---

Latex:
At  \mkleeneopen{}\mBbbU{}'\mkleeneclose{}  MemTypeCD\mcdot{}

---

Home Index