---

Step * 1 of Lemma universe-decode-encode


1. X : CubicalSet{j}
2. T : {X ⊢ _}
3. cT : X ⊢ CompOp(T)
4. encode(T;cT) ∈ {X ⊢ _:c𝕌}
⊢ decode(encode(T;cT))
= T
∈ (A:I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type × (I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))))
BY
{ (RepeatFor 2 (DVar `T') THEN RepUR ``universe-decode`` 0 THEN EqCD) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. X : CubicalSet{j}
2. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. T1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
4. let A,F = <A, T1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. cT : X ⊢ CompOp(<A, T1>)
6. encode(<A, T1>;cT) ∈ {X ⊢ _:c𝕌}
⊢ (λI,a. fst(encode(<A, T1>;cT)(a))(1)) = A ∈ (I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type)

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. X : CubicalSet{j}
2. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. T1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
4. let A,F = <A, T1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. cT : X ⊢ CompOp(<A, T1>)
6. encode(<A, T1>;cT) ∈ {X ⊢ _:c𝕌}
⊢ (λI,J,f,a,x. (x 1 f))
= T1
∈ (I:fset(ℕ)
  ⟶ J:fset(ℕ)
  ⟶ f:J ⟶ I
  ⟶ a:X(I)
  ⟶ ((λI,a. fst(encode(<A, T1>;cT)(a))(1)) I a)
  ⟶ ((λI,a. fst(encode(<A, T1>;cT)(a))(1)) J f(a)))

3
.....eq aux..... 
1. X : CubicalSet{j}
2. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. T1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
4. let A,F = <A, T1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. cT : X ⊢ CompOp(<A, T1>)
6. encode(<A, T1>;cT) ∈ {X ⊢ _:c𝕌}
7. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
⊢ istype(I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet\{j\}
2.  T  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  cT  :  X  \mvdash{}  CompOp(T)
4.  encode(T;cT)  \mmember{}  \{X  \mvdash{}  \_:c\mBbbU{}\}
\mvdash{}  decode(encode(T;cT))  =  T


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (DVar  `T')  THEN  RepUR  ``universe-decode``  0  THEN  EqCD)

---

Home Index