---

Step * 1 2 of Lemma universe-decode-encode

.....subterm..... T:t
2:n
1. X : CubicalSet{j}
2. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. T1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
4. let A,F = <A, T1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. cT : X ⊢ CompOp(<A, T1>)
6. encode(<A, T1>;cT) ∈ {X ⊢ _:c𝕌}
⊢ (λI,J,f,a,x. (x 1 f))
= T1
∈ (I:fset(ℕ)
  ⟶ J:fset(ℕ)
  ⟶ f:J ⟶ I
  ⟶ a:X(I)
  ⟶ ((λI,a. fst(encode(<A, T1>;cT)(a))(1)) I a)
  ⟶ ((λI,a. fst(encode(<A, T1>;cT)(a))(1)) J f(a)))
BY
{ (Fold `universe-type` 0 THEN RepeatFor 5 (((FunExt THENA Auto) THEN Reduce 0))) }

1
1. X : CubicalSet{j}
2. A : I:fset(ℕ) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. T1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
4. let A,F = <A, T1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. cT : X ⊢ CompOp(<A, T1>)
6. encode(<A, T1>;cT) ∈ {X ⊢ _:c𝕌}
7. I : fset(ℕ)
8. J : fset(ℕ)
9. f : J ⟶ I
10. a : X(I)
11. x : universe-type(encode(<A, T1>;cT);I;a)(1)
⊢ (x 1 f) = (T1 I J f a x) ∈ universe-type(encode(<A, T1>;cT);J;f(a))(1)

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
2:n
1.  X  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
3.  T1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
4.  let  A,F  =  <A,  T1> 
      in  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  1  a  u)  =  u))
            \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                      ((F  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))
5.  cT  :  X  \mvdash{}  CompOp(<A,  T1>)
6.  encode(<A,  T1>cT)  \mmember{}  \{X  \mvdash{}  \_:c\mBbbU{}\}
\mvdash{}  (\mlambda{}I,J,f,a,x.  (x  1  f))  =  T1


By

---

Latex:
(Fold  `universe-type`  0  THEN  RepeatFor  5  (((FunExt  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)))

---

Home Index