---

Step * 1 of Lemma not-not-inner-pasch


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))
BY
{ ((InstLemma `eu-colinear-cases` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto) THEN BHyp -1  THEN ((D 0 THENA Auto) ORELSE Auto)) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
9. ∀X:ℙ
     (Stable{X}
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c) ⇒ X)
     ⇒ ((¬Colinear(a;b;c)) ⇒ X)
     ⇒ X)
10. ¬¬¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))

2
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
9. ∀X:ℙ
     (Stable{X}
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c) ⇒ X)
     ⇒ ((¬Colinear(a;b;c)) ⇒ X)
     ⇒ X)
10. (¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))

3
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
9. ∀X:ℙ
     (Stable{X}
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c) ⇒ X)
     ⇒ ((¬Colinear(a;b;c)) ⇒ X)
     ⇒ X)
10. (¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))

4
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
9. ∀X:ℙ
     (Stable{X}
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c) ⇒ X)
     ⇒ ((¬Colinear(a;b;c)) ⇒ X)
     ⇒ X)
10. (¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))

5
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
9. ∀X:ℙ
     (Stable{X}
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c) ⇒ X)
     ⇒ ((¬Colinear(a;b;c)) ⇒ X)
     ⇒ X)
10. (¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))

6
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
9. ∀X:ℙ
     (Stable{X}
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c) ⇒ X)
     ⇒ ((¬Colinear(a;b;c)) ⇒ X)
     ⇒ X)
10. (¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))

7
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. a_p_c
7. q : Point
8. b_q_c
9. ∀X:ℙ
     (Stable{X}
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = a ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ (c = b ∈ Point)) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ c-a-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-c-b) ⇒ X)
     ⇒ (((¬(a = b ∈ Point)) ∧ a-b-c) ⇒ X)
     ⇒ ((¬Colinear(a;b;c)) ⇒ X)
     ⇒ X)
10. ¬Colinear(a;b;c)
⊢ ¬¬(∃x:Point. (p_x_b ∧ q_x_a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  p  :  Point
6.  a\_p\_c
7.  q  :  Point
8.  b\_q\_c
\mvdash{}  \mneg{}\mneg{}(\mexists{}x:Point.  (p\_x\_b  \mwedge{}  q\_x\_a))


By

---

Latex:
((InstLemma  `eu-colinear-cases`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  BHyp  -1 
  THEN  ((D  0  THENA  Auto)  ORELSE  Auto))

---

Home Index