---

Step * 3 1 of Lemma geo-perp-is-shortest-path

.....aux..... 
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. a # bc
7. ad  ⊥d bc
8. x : {x:Point| Colinear(b;c;x)} 
9. d ≠ x
10. a # dx
11. a' : Point
12. a_d_a'
13. a ≠ d ∧ d ≠ a'
14. da' ≅ ad
15. |aa'| < |ax| + |xa'|
16. |aa'| = |ad| + |da'| ∈ Length
⊢ |ad| + |ad| < |ax| + |ax|
BY
{ (Assert a'x ≅ ax BY
         (InstLemma `geo-reflected-right-triangles-congruent` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜d⌝;⌜x⌝;⌜a'⌝]⋅ THEN Auto)) }

1
.....aux..... 
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. a # bc
7. ad  ⊥d bc
8. x : {x:Point| Colinear(b;c;x)} 
9. d ≠ x
10. a # dx
11. a' : Point
12. a_d_a'
13. a ≠ d
14. d ≠ a'
15. da' ≅ ad
16. |aa'| < |ax| + |xa'|
17. |aa'| = |ad| + |da'| ∈ Length
⊢ Rxda

2
.....aux..... 
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. a # bc
7. ad  ⊥d bc
8. x : {x:Point| Colinear(b;c;x)} 
9. d ≠ x
10. a # dx
11. a' : Point
12. a_d_a'
13. a ≠ d
14. d ≠ a'
15. da' ≅ ad
16. |aa'| < |ax| + |xa'|
17. |aa'| = |ad| + |da'| ∈ Length
⊢ a=d=a'

3
.....aux..... 
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. a # bc
7. ad  ⊥d bc
8. x : {x:Point| Colinear(b;c;x)} 
9. d ≠ x
10. a # dx
11. a' : Point
12. a_d_a'
13. a ≠ d
14. d ≠ a'
15. da' ≅ ad
16. |aa'| < |ax| + |xa'|
17. |aa'| = |ad| + |da'| ∈ Length
18. Cong3(adx,a'dx)
⊢ a'x ≅ ax

4
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. a # bc
7. ad  ⊥d bc
8. x : {x:Point| Colinear(b;c;x)} 
9. d ≠ x
10. a # dx
11. a' : Point
12. a_d_a'
13. a ≠ d ∧ d ≠ a'
14. da' ≅ ad
15. |aa'| < |ax| + |xa'|
16. |aa'| = |ad| + |da'| ∈ Length
17. a'x ≅ ax
⊢ |ad| + |ad| < |ax| + |ax|

---

Latex:

---

Latex:
.....aux..... 
1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  d  :  Point
6.  a  \#  bc
7.  ad    \mbot{}d  bc
8.  x  :  \{x:Point|  Colinear(b;c;x)\} 
9.  d  \mneq{}  x
10.  a  \#  dx
11.  a'  :  Point
12.  a\_d\_a'
13.  a  \mneq{}  d  \mwedge{}  d  \mneq{}  a'
14.  da'  \mcong{}  ad
15.  |aa'|  <  |ax|  +  |xa'|
16.  |aa'|  =  |ad|  +  |da'|
\mvdash{}  |ad|  +  |ad|  <  |ax|  +  |ax|


By

---

Latex:
(Assert  a'x  \mcong{}  ax  BY
              (InstLemma  `geo-reflected-right-triangles-congruent`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a'\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index