---

Step * 1 1 2 1 1 4 of Lemma in-hull-sorted


1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ comparison({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} )
8. L : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
9. filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)) = L ∈ ({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List)
10. v : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
11. sorted-by(λx,y. (0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y));v)
12. comparison-sort(hull-cmp(g;xs;i;j);L)
= v
∈ {srtd:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List| sorted-by(λx,y. (0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y));srtd)} 
13. permutation({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;v;L)
⊢ sorted-by(λx,y. ((¬(x = y ∈ ℤ)) ⇒ (↑x L yi));v)
BY
{ ((RepeatFor 2 (ParallelOp -3) THEN ParallelLast) THEN All Reduce) }

1
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ comparison({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} )
8. L : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
9. filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)) = L ∈ ({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List)
10. v : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
11. ∀i@0:ℕ||v||. ∀j@0:ℕi@0.  (0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) v[j@0] v[i@0]))
12. comparison-sort(hull-cmp(g;xs;i;j);L)
= v
∈ {srtd:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List| sorted-by(λx,y. (0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y));srtd)} 
13. permutation({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;v;L)
14. i@0 : ℕ||v||
15. ∀j@0:ℕi@0. (0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) v[j@0] v[i@0]))
16. j1 : ℕi@0
17. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) v[j1] v[i@0])
⊢ (¬(v[j1] = v[i@0] ∈ ℤ)) ⇒ (↑v[j1] L v[i@0]i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  OrientedPlane
2.  xs  :  \{xs:Point  List|  geo-general-position(g;xs)\} 
3.  i  :  \mBbbN{}||xs||
4.  j  :  \mBbbN{}||xs||
5.  \mneg{}(i  =  j)
6.  ij  \mmember{}  Hull(xs)
7.  hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  comparison(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  )
8.  L  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}    List
9.  filter(\mlambda{}k.((\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  i))  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  j)));upto(||xs||))  =  L
10.  v  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}    List
11.  sorted-by(\mlambda{}x,y.  (0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  x  y));v)
12.  comparison-sort(hull-cmp(g;xs;i;j);L)  =  v
13.  permutation(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  ;v;L)
\mvdash{}  sorted-by(\mlambda{}x,y.  ((\mneg{}(x  =  y))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}x  L  yi));v)


By

---

Latex:
((RepeatFor  2  (ParallelOp  -3)  THEN  ParallelLast)  THEN  All  Reduce)

---

Home Index