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of Lemma
opp-side_half-plane-angle-congruence
1. e : EuclideanPlane
2. b : Point
3. p : Point
4. b' : Point
5. p' : Point
6. a : Point
7. c : Point
8. a' : Point
9. c' : Point
10. a leftof bp
11. c leftof pb
12. a' leftof b'p'
13. c' leftof p'b'
14. abp ≅a a'b'p'
15. pbc ≅a p'b'c'
16. a # b
17. b # p
18. a' # b'
19. b' # p'
20. a'@0 : Point
21. c1 : Point
22. x1 : Point
23. z1 : Point
24. B(baa'@0)
25. B(bpc1)
26. B(b'a'x1)
27. B(b'p'z1)
28. ba'@0 ≅ b'x1
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32. b # c
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34. b' # c'
35. a1 : Point
36. c'@0 : Point
37. x' : Point
38. z' : Point
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46. B(baa'@0)
47. B(bcc'@0)
48. B(b'a'x1)
49. B(b'c'z')
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69. a'@0a1 ≅ x1x'
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BY
{ gColinearCases (-2)⋅ }
1
1. e : EuclideanPlane
2. b : Point
3. p : Point
4. b' : Point
5. p' : Point
6. a : Point
7. c : Point
8. a' : Point
9. c' : Point
10. a leftof bp
11. c leftof pb
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14. abp ≅a a'b'p'
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21. c1 : Point
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23. z1 : Point
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28. ba'@0 ≅ b'x1
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30. a'@0c1 ≅ x1z1
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32. b # c
33. p' # b'
34. b' # c'
35. a1 : Point
36. c'@0 : Point
37. x' : Point
38. z' : Point
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46. B(baa'@0)
47. B(bcc'@0)
48. B(b'a'x1)
49. B(b'c'z')
50. ba'@0 ≅ b'x1
51. bc'@0 ≅ b'z'
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67. B(a'@0xc'@0)
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2
1. e : EuclideanPlane
2. b : Point
3. p : Point
4. b' : Point
5. p' : Point
6. a : Point
7. c : Point
8. a' : Point
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⊢ a'@0c'@0 ≅ x1z'
3
1. e : EuclideanPlane
2. b : Point
3. p : Point
4. b' : Point
5. p' : Point
6. a : Point
7. c : Point
8. a' : Point
9. c' : Point
10. a leftof bp
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12. a' leftof b'p'
13. c' leftof p'b'
14. abp ≅a a'b'p'
15. pbc ≅a p'b'c'
16. a # b
17. b # p
18. a' # b'
19. b' # p'
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25. B(bpc1)
26. B(b'a'x1)
27. B(b'p'z1)
28. ba'@0 ≅ b'x1
29. bc1 ≅ b'z1
30. a'@0c1 ≅ x1z1
31. p # b
32. b # c
33. p' # b'
34. b' # c'
35. a1 : Point
36. c'@0 : Point
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49. B(b'c'z')
50. ba'@0 ≅ b'x1
51. bc'@0 ≅ b'z'
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65. x : Point
66. Colinear(b;p;x)
67. B(a'@0xc'@0)
68. Colinear(b;x;a1)
69. a'@0a1 ≅ x1x'
70. a1 ≡ b
⊢ a'@0c'@0 ≅ x1z'
4
1. e : EuclideanPlane
2. b : Point
3. p : Point
4. b' : Point
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34. b' # c'
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70. b-x-a1
⊢ a'@0c'@0 ≅ x1z'
5
1. e : EuclideanPlane
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30. a'@0c1 ≅ x1z1
31. p # b
32. b # c
33. p' # b'
34. b' # c'
35. a1 : Point
36. c'@0 : Point
37. x' : Point
38. z' : Point
39. B(bpa1)
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41. B(b'p'x')
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51. bc'@0 ≅ b'z'
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54. x1 leftof b'p'
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56. a'@0ba1 ≅a x1b'x'
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70. x-a1-b
⊢ a'@0c'@0 ≅ x1z'
6
1. e : EuclideanPlane
2. b : Point
3. p : Point
4. b' : Point
5. p' : Point
6. a : Point
7. c : Point
8. a' : Point
9. c' : Point
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12. a' leftof b'p'
13. c' leftof p'b'
14. abp ≅a a'b'p'
15. pbc ≅a p'b'c'
16. a # b
17. b # p
18. a' # b'
19. b' # p'
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21. c1 : Point
22. x1 : Point
23. z1 : Point
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25. B(bpc1)
26. B(b'a'x1)
27. B(b'p'z1)
28. ba'@0 ≅ b'x1
29. bc1 ≅ b'z1
30. a'@0c1 ≅ x1z1
31. p # b
32. b # c
33. p' # b'
34. b' # c'
35. a1 : Point
36. c'@0 : Point
37. x' : Point
38. z' : Point
39. B(bpa1)
40. B(bcc'@0)
41. B(b'p'x')
42. B(b'c'z')
43. ba1 ≅ b'x'
44. bc'@0 ≅ b'z'
45. a1c'@0 ≅ x'z'
46. B(baa'@0)
47. B(bcc'@0)
48. B(b'a'x1)
49. B(b'c'z')
50. ba'@0 ≅ b'x1
51. bc'@0 ≅ b'z'
52. a'@0 leftof bp
53. c'@0 leftof pb
54. x1 leftof b'p'
55. z' leftof p'b'
56. a'@0ba1 ≅a x1b'x'
57. a1bc'@0 ≅a x'b'z'
58. x' # z'
59. z' leftof x'b'
60. x1 # x'
61. c'@0 # pb ⇒ ((∀x:Point. (Colinear(x;p;b) ⇒ c'@0 # x)) ∧ p # b)
62. c'@0 # pb ⇐ (∀x:Point. (Colinear(x;p;b) ⇒ c'@0 # x)) ∧ p # b
63. a'@0 # bp ⇒ ((∀x:Point. (Colinear(x;b;p) ⇒ a'@0 # x)) ∧ b # p)
64. a'@0 # bp ⇐ (∀x:Point. (Colinear(x;b;p) ⇒ a'@0 # x)) ∧ b # p
65. x : Point
66. Colinear(b;p;x)
67. B(a'@0xc'@0)
68. Colinear(b;x;a1)
69. a'@0a1 ≅ x1x'
70. a1-b-x
⊢ a'@0c'@0 ≅ x1z'
Latex:
Latex:
1. e : EuclideanPlane
2. b : Point
3. p : Point
4. b' : Point
5. p' : Point
6. a : Point
7. c : Point
8. a' : Point
9. c' : Point
10. a leftof bp
11. c leftof pb
12. a' leftof b'p'
13. c' leftof p'b'
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18. a' \# b'
19. b' \# p'
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21. c1 : Point
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24. B(baa'@0)
25. B(bpc1)
26. B(b'a'x1)
27. B(b'p'z1)
28. ba'@0 \mcong{} b'x1
29. bc1 \mcong{} b'z1
30. a'@0c1 \mcong{} x1z1
31. p \# b
32. b \# c
33. p' \# b'
34. b' \# c'
35. a1 : Point
36. c'@0 : Point
37. x' : Point
38. z' : Point
39. B(bpa1)
40. B(bcc'@0)
41. B(b'p'x')
42. B(b'c'z')
43. ba1 \mcong{} b'x'
44. bc'@0 \mcong{} b'z'
45. a1c'@0 \mcong{} x'z'
46. B(baa'@0)
47. B(bcc'@0)
48. B(b'a'x1)
49. B(b'c'z')
50. ba'@0 \mcong{} b'x1
51. bc'@0 \mcong{} b'z'
52. a'@0 leftof bp
53. c'@0 leftof pb
54. x1 leftof b'p'
55. z' leftof p'b'
56. a'@0ba1 \mcong{}\msuba{} x1b'x'
57. a1bc'@0 \mcong{}\msuba{} x'b'z'
58. x' \# z'
59. z' leftof x'b'
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64. a'@0 \# bp \mLeftarrow{}{} (\mforall{}x:Point. (Colinear(x;b;p) {}\mRightarrow{} a'@0 \# x)) \mwedge{} b \# p
65. x : Point
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68. Colinear(b;x;a1)
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\mvdash{} a'@0c'@0 \mcong{} x1z'
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Latex:
gColinearCases (-2)\mcdot{}
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