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Step * 1 1 1 1 1 4 of Lemma implies-isometry-lemma3


1. rv : InnerProductSpace
2. m : ℕ+
3. x : Point(rv)
4. y : Point(rv)
5. s : ℝ
6. r0 < s
7. ||x - y|| = s
8. ∃u,v:{p:Point(rv)| xx + r(m)*y - x=xp ∧ yy + r(m)*x - y=yp} 
    (((||x - y + r(m)*x - y|| < ||x - x + r(m)*y - x||) ∧ (||y - x + r(m)*y - x|| < ||y - y + r(m)*x - y||)) ⇒ u # v)
⊢ ∃z:Point(rv). ((||z - x|| = (r(m) * s)) ∧ (||z - y|| = (r(m) * s)))
BY
{ (ParallelLast THEN Thin (-1)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. m : ℕ+
3. x : Point(rv)
4. y : Point(rv)
5. s : ℝ
6. r0 < s
7. ||x - y|| = s
8. u : {p:Point(rv)| xx + r(m)*y - x=xp ∧ yy + r(m)*x - y=yp} 
⊢ (||u - x|| = (r(m) * s)) ∧ (||u - y|| = (r(m) * s))

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Latex:

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Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  x  :  Point(rv)
4.  y  :  Point(rv)
5.  s  :  \mBbbR{}
6.  r0  <  s
7.  ||x  -  y||  =  s
8.  \mexists{}u,v:\{p:Point(rv)|  xx  +  r(m)*y  -  x=xp  \mwedge{}  yy  +  r(m)*x  -  y=yp\} 
        (((||x  -  y  +  r(m)*x  -  y||  <  ||x  -  x  +  r(m)*y  -  x||)
        \mwedge{}  (||y  -  x  +  r(m)*y  -  x||  <  ||y  -  y  +  r(m)*x  -  y||))
        {}\mRightarrow{}  u  \#  v)
\mvdash{}  \mexists{}z:Point(rv).  ((||z  -  x||  =  (r(m)  *  s))  \mwedge{}  (||z  -  y||  =  (r(m)  *  s)))


By

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Latex:
(ParallelLast  THEN  Thin  (-1))

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