---

Step * 1 1 2 1 2 1 1 of Lemma ip-extend-lemma


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : {b:Point(rv)| a # b} 
4. dcd : {d:ℝ| r0 ≤ d} 
5. r0 ≤ dcd
6. (-(dcd)/||a - b||) = (r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||))
7. a ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
⇒ b ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
8. a # (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
9. (dcd/||a - b|| + dcd) ∈ [r0, r1]
10. dab : ℝ
11. ||a - b|| = dab ∈ ℝ
12. v : ℝ
13. (dab + dcd) = v ∈ ℝ
14. r0 < dab
15. r0 < v
⊢ b ≡ (dcd/v) + ((r1 - (dcd/v)) * (r1 - (v/dab)))*a + (r1 - (dcd/v)) * (v/dab)*b
BY
{ ((Assert ((dcd/v) + ((r1 - (dcd/v)) * (r1 - (v/dab)))) = r0 BY
          (nRNorm 0 THEN Auto THEN nRMul ⌜dab⌝ 0⋅ THEN (RWO "-3<" 0 THENM nRNorm 0) THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   ) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : {b:Point(rv)| a # b} 
4. dcd : {d:ℝ| r0 ≤ d} 
5. r0 ≤ dcd
6. (-(dcd)/||a - b||) = (r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||))
7. a ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
⇒ b ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
8. a # (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
9. (dcd/||a - b|| + dcd) ∈ [r0, r1]
10. dab : ℝ
11. ||a - b|| = dab ∈ ℝ
12. v : ℝ
13. (dab + dcd) = v ∈ ℝ
14. r0 < dab
15. r0 < v
16. ((dcd/v) + ((r1 - (dcd/v)) * (r1 - (v/dab)))) = r0
⊢ b ≡ r0*a + (r1 - (dcd/v)) * (v/dab)*b

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point(rv)
3.  b  :  \{b:Point(rv)|  a  \#  b\} 
4.  dcd  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  d\} 
5.  r0  \mleq{}  dcd
6.  (-(dcd)/||a  -  b||)  =  (r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||))
7.  a  \mequiv{}  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*b  +  r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*a
{}\mRightarrow{}  b  \mequiv{}  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*b  +  r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*a
8.  a  \#  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*b  +  r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*a
9.  (dcd/||a  -  b||  +  dcd)  \mmember{}  [r0,  r1]
10.  dab  :  \mBbbR{}
11.  ||a  -  b||  =  dab
12.  v  :  \mBbbR{}
13.  (dab  +  dcd)  =  v
14.  r0  <  dab
15.  r0  <  v
\mvdash{}  b  \mequiv{}  (dcd/v)  +  ((r1  -  (dcd/v))  *  (r1  -  (v/dab)))*a  +  (r1  -  (dcd/v))  *  (v/dab)*b


By

---

Latex:
((Assert  ((dcd/v)  +  ((r1  -  (dcd/v))  *  (r1  -  (v/dab))))  =  r0  BY
                (nRNorm  0  THEN  Auto  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}dab\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  (RWO  "-3<"  0  THENM  nRNorm  0)  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  )

---

Home Index