---

Step * 1 of Lemma ip-inner-Pasch1


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)
12. q ≡ t*b + r1 - t*c
13. s : ℝ
14. (r0 ≤ s) ∧ (s ≤ r1)
15. p ≡ s*a + r1 - s*c
⊢ ∃x:Point
   (a_x_q
   ∧ b_x_p
   ∧ (a # q ⇒ x # a)
   ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
   ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
   ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p))
BY
{ ((Assert s < r1 BY
          ((InstLemma `ip-dist-between-1` [⌜rv⌝;⌜s⌝;⌜a⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto)
           THEN (RWO "-2<" (-1) THENA Auto)
           THEN (Assert r0 < ||a - p|| BY
                       EAuto 2)
           THEN (RWO "-2" (-1) THENA Auto)
           THEN (RWO  "rmul-is-positive" (-1) THENA Auto)
           THEN (RepeatFor 2 (D -1)
                 THENL [((RWO "rabs-of-nonneg" (-2) THENA (Auto THEN nRAdd ⌜s⌝ 0⋅ THEN Auto))
                         THEN nRAdd ⌜s⌝ (-2)⋅
                         THEN Auto)
                       ; ((Assert r0 ≤ |r1 - s| BY Auto) THEN Auto)]
           )))
   THEN ExRepD
   ) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. r0 ≤ t
12. t ≤ r1
13. q ≡ t*b + r1 - t*c
14. s : ℝ
15. r0 ≤ s
16. s ≤ r1
17. p ≡ s*a + r1 - s*c
18. s < r1
⊢ ∃x:Point
   (a_x_q
   ∧ b_x_p
   ∧ (a # q ⇒ x # a)
   ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
   ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
   ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  p  :  Point
6.  q  :  Point
7.  a  \#  p
8.  b  \#  c
9.  a  \#  c
10.  t  :  \mBbbR{}
11.  (r0  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)
12.  q  \mequiv{}  t*b  +  r1  -  t*c
13.  s  :  \mBbbR{}
14.  (r0  \mleq{}  s)  \mwedge{}  (s  \mleq{}  r1)
15.  p  \mequiv{}  s*a  +  r1  -  s*c
\mvdash{}  \mexists{}x:Point
      (a\_x\_q
      \mwedge{}  b\_x\_p
      \mwedge{}  (a  \#  q  {}\mRightarrow{}  x  \#  a)
      \mwedge{}  ((a  \#  q  \mwedge{}  p  \#  c  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  q)
      \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  b)
      \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  q  \#  c)  {}\mRightarrow{}  x  \#  p))


By

---

Latex:
((Assert  s  <  r1  BY
                ((InstLemma  `ip-dist-between-1`  [\mkleeneopen{}rv\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO  "-2<"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  (Assert  r0  <  ||a  -  p||  BY
                                          EAuto  2)
                  THEN  (RWO  "-2"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO    "rmul-is-positive"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  (RepeatFor  2  (D  -1)
                              THENL  [((RWO  "rabs-of-nonneg"  (-2)  THENA  (Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
                                              THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}
                                              THEN  Auto)
                                          ;  ((Assert  r0  \mleq{}  |r1  -  s|  BY  Auto)  THEN  Auto)]
                  )))
  THEN  ExRepD
  )

---

Home Index