---

Step * 2 2 1 2 2 of Lemma rv-orthogonal-iff


1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. f 0 ≡ 0
4. ∀[x,y:Point(rv)].  (||f x - f y|| = ||x - y||)
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  f x + y ≡ f x + f y
7. x : Point(rv)
8. a : ℝ
9. ∀n:ℕ. ∀x:Point(rv).  f r(n)*x ≡ r(n)*f x
10. ∀n:ℕ+. ∀x:Point(rv).  f (r1/r(n))*x ≡ (r1/r(n))*f x
⊢ f a*x ≡ a*f x
BY
{ (Assert ∀x:Point(rv). f -x ≡ -f x BY
         (ParallelOp -5 THEN (InstHyp [⌜-x1⌝] (-1)⋅ THENA Auto))) }

1
.....aux..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. f 0 ≡ 0
4. ∀[x,y:Point(rv)].  (||f x - f y|| = ||x - y||)
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  f x + y ≡ f x + f y
7. x : Point(rv)
8. a : ℝ
9. ∀n:ℕ. ∀x:Point(rv).  f r(n)*x ≡ r(n)*f x
10. ∀n:ℕ+. ∀x:Point(rv).  f (r1/r(n))*x ≡ (r1/r(n))*f x
11. x1 : Point(rv)
12. ∀y:Point(rv). f x1 + y ≡ f x1 + f y
13. f x1 + -x1 ≡ f x1 + f -x1
⊢ f -x1 ≡ -f x1

2
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. f 0 ≡ 0
4. ∀[x,y:Point(rv)].  (||f x - f y|| = ||x - y||)
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  f x + y ≡ f x + f y
7. x : Point(rv)
8. a : ℝ
9. ∀n:ℕ. ∀x:Point(rv).  f r(n)*x ≡ r(n)*f x
10. ∀n:ℕ+. ∀x:Point(rv).  f (r1/r(n))*x ≡ (r1/r(n))*f x
11. ∀x:Point(rv). f -x ≡ -f x
⊢ f a*x ≡ a*f x

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  f  :  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
3.  f  0  \mequiv{}  0
4.  \mforall{}[x,y:Point(rv)].    (||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||)
5.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
6.  \mforall{}x,y:Point(rv).    f  x  +  y  \mequiv{}  f  x  +  f  y
7.  x  :  Point(rv)
8.  a  :  \mBbbR{}
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:Point(rv).    f  r(n)*x  \mequiv{}  r(n)*f  x
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:Point(rv).    f  (r1/r(n))*x  \mequiv{}  (r1/r(n))*f  x
\mvdash{}  f  a*x  \mequiv{}  a*f  x


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}x:Point(rv).  f  -x  \mequiv{}  -f  x  BY
              (ParallelOp  -5  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}-x1\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)))

---

Home Index