---

Step * 2 2 1 2 2 1 of Lemma rv-orthogonal-iff

.....aux..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. f 0 ≡ 0
4. ∀[x,y:Point(rv)].  (||f x - f y|| = ||x - y||)
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  f x + y ≡ f x + f y
7. x : Point(rv)
8. a : ℝ
9. ∀n:ℕ. ∀x:Point(rv).  f r(n)*x ≡ r(n)*f x
10. ∀n:ℕ+. ∀x:Point(rv).  f (r1/r(n))*x ≡ (r1/r(n))*f x
11. x1 : Point(rv)
12. ∀y:Point(rv). f x1 + y ≡ f x1 + f y
13. f x1 + -x1 ≡ f x1 + f -x1
⊢ f -x1 ≡ -f x1
BY
{ ((Assert f x1 + -x1 ≡ f 0 BY
          (BHyp 5 THEN Auto))
   THEN (RWW "-1 3" (-2) THENA Auto)
   THEN (BLemma `rv-sub-is-zero` THENA Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. f 0 ≡ 0
4. ∀[x,y:Point(rv)].  (||f x - f y|| = ||x - y||)
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  f x + y ≡ f x + f y
7. x : Point(rv)
8. a : ℝ
9. ∀n:ℕ. ∀x:Point(rv).  f r(n)*x ≡ r(n)*f x
10. ∀n:ℕ+. ∀x:Point(rv).  f (r1/r(n))*x ≡ (r1/r(n))*f x
11. x1 : Point(rv)
12. ∀y:Point(rv). f x1 + y ≡ f x1 + f y
13. 0 ≡ f x1 + f -x1
14. f x1 + -x1 ≡ f 0
⊢ f -x1 - -f x1 ≡ 0

---

Latex:

---

Latex:
.....aux..... 
1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  f  :  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
3.  f  0  \mequiv{}  0
4.  \mforall{}[x,y:Point(rv)].    (||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||)
5.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
6.  \mforall{}x,y:Point(rv).    f  x  +  y  \mequiv{}  f  x  +  f  y
7.  x  :  Point(rv)
8.  a  :  \mBbbR{}
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:Point(rv).    f  r(n)*x  \mequiv{}  r(n)*f  x
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:Point(rv).    f  (r1/r(n))*x  \mequiv{}  (r1/r(n))*f  x
11.  x1  :  Point(rv)
12.  \mforall{}y:Point(rv).  f  x1  +  y  \mequiv{}  f  x1  +  f  y
13.  f  x1  +  -x1  \mequiv{}  f  x1  +  f  -x1
\mvdash{}  f  -x1  \mequiv{}  -f  x1


By

---

Latex:
((Assert  f  x1  +  -x1  \mequiv{}  f  0  BY
                (BHyp  5  THEN  Auto))
  THEN  (RWW  "-1  3"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (BLemma  `rv-sub-is-zero`  THENA  Auto))

---

Home Index