---

Step * 1 1 1 of Lemma trans-from-kernel-is-trans

.....aux..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. e^2 = r1
6. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
7. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
8. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
9. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
10. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
11. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
12. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
13. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
14. ∀y:Point(rv). (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} )
15. h : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} 
16. tau : ℝ
17. t : ℝ
18. v1 : Point(rv)
19. v2 : ℝ
20. h ⋅ e = r0
21. h + f h tau*e ≡ v1 + v2*e ∧ (v1 ⋅ e = r0)
22. h + f h tau*e - h + f h tau*e ⋅ e*e = v1 ∈ Point(rv)
23. h + f h tau*e ⋅ e = v2 ∈ ℝ
⊢ v1 + f v1 ((g v1 v2) + t)*e ≡ h + f h (tau + t)*e
BY
{ (((Assert h + f h tau*e - h + f h tau*e ⋅ e*e ≡ v1 BY Auto) THEN Thin (-3))
   THEN (Assert h + f h tau*e ⋅ e = v2 BY
               Auto)
   THEN Thin (-3)
   THEN ((RWW "rv-ip-add rv-ip-mul 5 -4" (-1) THENM nRNorm (-1)) THENA Auto)
   THEN (Assert v1 ≡ h BY
               ((RWW "-2< rv-ip-add rv-ip-mul 5 -4" 0 THENA Auto) THEN RealVecEqual THEN Auto)⋅)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. e^2 = r1
6. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
7. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
8. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
9. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
10. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
11. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
12. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
13. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
14. ∀y:Point(rv). (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} )
15. h : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} 
16. tau : ℝ
17. t : ℝ
18. v1 : Point(rv)
19. v2 : ℝ
20. h ⋅ e = r0
21. h + f h tau*e ≡ v1 + v2*e ∧ (v1 ⋅ e = r0)
22. h + f h tau*e - h + f h tau*e ⋅ e*e ≡ v1
23. (f h tau) = v2
24. v1 ≡ h
⊢ v1 + f v1 ((g v1 v2) + t)*e ≡ h + f h (tau + t)*e

---

Latex:

---

Latex:
.....aux..... 
1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  \{e:Point(rv)|  e\^{}2  =  r1\} 
3.  f  :  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  g  :  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  e\^{}2  =  r1
6.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (f  h1  t1  \mneq{}  f  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
7.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  ((f  h  r0)  =  r0)
8.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h  t1)  <  (f  h  t2)))
9.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  ((f  h  t)  =  r)
10.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r)
11.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h1  t1)  =  (f  h2  t2)))
12.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (g  h1  t1  \mneq{}  g  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
13.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((g  h1  t1)  =  (g  h2  t2)))
14.  \mforall{}y:Point(rv).  (y  -  y  \mcdot{}  e*e  \mmember{}  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  )
15.  h  :  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
16.  tau  :  \mBbbR{}
17.  t  :  \mBbbR{}
18.  v1  :  Point(rv)
19.  v2  :  \mBbbR{}
20.  h  \mcdot{}  e  =  r0
21.  h  +  f  h  tau*e  \mequiv{}  v1  +  v2*e  \mwedge{}  (v1  \mcdot{}  e  =  r0)
22.  h  +  f  h  tau*e  -  h  +  f  h  tau*e  \mcdot{}  e*e  =  v1
23.  h  +  f  h  tau*e  \mcdot{}  e  =  v2
\mvdash{}  v1  +  f  v1  ((g  v1  v2)  +  t)*e  \mequiv{}  h  +  f  h  (tau  +  t)*e


By

---

Latex:
(((Assert  h  +  f  h  tau*e  -  h  +  f  h  tau*e  \mcdot{}  e*e  \mequiv{}  v1  BY  Auto)  THEN  Thin  (-3))
  THEN  (Assert  h  +  f  h  tau*e  \mcdot{}  e  =  v2  BY
                          Auto)
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  ((RWW  "rv-ip-add  rv-ip-mul  5  -4"  (-1)  THENM  nRNorm  (-1))  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  v1  \mequiv{}  h  BY
                          ((RWW  "-2<  rv-ip-add  rv-ip-mul  5  -4"  0  THENA  Auto)  THEN  RealVecEqual  THEN  Auto)\mcdot{}))

---

Home Index