---

Step * 2 1 of Lemma translation-group-point


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x1 : Point ⟶ Point
6. x2 : Point ⟶ Point
7. t : ℝ
8. ∀x@0:Point. x1 x@0 ≡ T t x@0
9. ∀x@0:Point. x2 x@0 ≡ T -(t) x@0
⊢ (∀x:Point. x1 (x2 x) ≡ x)
∧ (∀x:Point. x2 (x1 x) ≡ x)
∧ (∀x,y:Point.  (x1 x # x1 y ⇒ x # y))
∧ (∀x,y:Point.  (x2 x # x2 y ⇒ x # y))
BY
{ (All  (Fold `trans-apply`)
   THEN (RWW "-1 -2 trans-apply-add<" 0 THENA Auto)
   THEN (nRNorm 0 THENA Auto)
   THEN RWO "trans-apply-0" 0
   THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x1 : Point ⟶ Point
6. x2 : Point ⟶ Point
7. t : ℝ
8. ∀x@0:Point. x1 x@0 ≡ T_t(x@0)
9. ∀x@0:Point. x2 x@0 ≡ T_-(t)(x@0)
10. ∀x:Point. x ≡ x
11. ∀x:Point. x ≡ x
12. x : Point
13. y : Point
14. T_t(x) # T_t(y)
⊢ x # y

2
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x1 : Point ⟶ Point
6. x2 : Point ⟶ Point
7. t : ℝ
8. ∀x@0:Point. x1 x@0 ≡ T_t(x@0)
9. ∀x@0:Point. x2 x@0 ≡ T_-(t)(x@0)
10. ∀x:Point. x ≡ x
11. ∀x:Point. x ≡ x
12. ∀x,y:Point.  (T_t(x) # T_t(y) ⇒ x # y)
13. x : Point
14. y : Point
15. T_-(t)(x) # T_-(t)(y)
⊢ x # y

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
4.  translation-group-fun(rv;e;T)
5.  x1  :  Point  {}\mrightarrow{}  Point
6.  x2  :  Point  {}\mrightarrow{}  Point
7.  t  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x@0:Point.  x1  x@0  \mequiv{}  T  t  x@0
9.  \mforall{}x@0:Point.  x2  x@0  \mequiv{}  T  -(t)  x@0
\mvdash{}  (\mforall{}x:Point.  x1  (x2  x)  \mequiv{}  x)
\mwedge{}  (\mforall{}x:Point.  x2  (x1  x)  \mequiv{}  x)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:Point.    (x1  x  \#  x1  y  {}\mRightarrow{}  x  \#  y))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:Point.    (x2  x  \#  x2  y  {}\mRightarrow{}  x  \#  y))


By

---

Latex:
(All    (Fold  `trans-apply`)
  THEN  (RWW  "-1  -2  trans-apply-add<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (nRNorm  0  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "trans-apply-0"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index