---

Step * 1 5 1 1 1 of Lemma path-comp-prod


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A × B))@i
6. g : Point(Path(A × B))@i
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ((λt.(fst(f@t)) ∈ Point(Path(A))) ∧ (λt.(fst(g@t)) ∈ Point(Path(A))))
∧ (λt.(snd(f@t)) ∈ Point(Path(B)))
∧ (λt.(snd(g@t)) ∈ Point(Path(B)))
9. ∀f,t:Top.  (snd(f@t) ~ λt.(snd(f@t))@t)
10. ∀f,t:Top.  (fst(f@t) ~ λt.(fst(f@t))@t)
11. λt.(fst(f@t))@r1 ≡ λt.(fst(g@t))@r0
12. λt.(snd(f@t))@r1 ≡ λt.(snd(g@t))@r0
13. ha : Point(Path(A))
14. path-comp-rel(A;λt.(fst(f@t));λt.(fst(g@t));ha)
15. hb : Point(Path(B))
16. path-comp-rel(B;λt.(snd(f@t));λt.(snd(g@t));hb)
17. λt.<ha@t, hb@t> ∈ Point(Path(A × B))
⊢ ∃h:Point(Path(A × B)). path-comp-rel(A × B;f;g;h)
BY
{ (D 0 With ⌜λt.<ha@t, hb@t>⌝  THEN Auto) }

1
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A × B))@i
6. g : Point(Path(A × B))@i
7. f@r1 ≡ g@r0
8. λt.(fst(f@t)) ∈ Point(Path(A))
9. λt.(fst(g@t)) ∈ Point(Path(A))
10. λt.(snd(f@t)) ∈ Point(Path(B))
11. λt.(snd(g@t)) ∈ Point(Path(B))
12. ∀f,t:Top.  (snd(f@t) ~ λt.(snd(f@t))@t)
13. ∀f,t:Top.  (fst(f@t) ~ λt.(fst(f@t))@t)
14. λt.(fst(f@t))@r1 ≡ λt.(fst(g@t))@r0
15. λt.(snd(f@t))@r1 ≡ λt.(snd(g@t))@r0
16. ha : Point(Path(A))
17. path-comp-rel(A;λt.(fst(f@t));λt.(fst(g@t));ha)
18. hb : Point(Path(B))
19. path-comp-rel(B;λt.(snd(f@t));λt.(snd(g@t));hb)
20. λt.<ha@t, hb@t> ∈ Point(Path(A × B))
⊢ path-comp-rel(A × B;f;g;λt.<ha@t, hb@t>)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  \mtimes{}  B))@i
6.  g  :  Point(Path(A  \mtimes{}  B))@i
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  ((\mlambda{}t.(fst(f@t))  \mmember{}  Point(Path(A)))  \mwedge{}  (\mlambda{}t.(fst(g@t))  \mmember{}  Point(Path(A))))
\mwedge{}  (\mlambda{}t.(snd(f@t))  \mmember{}  Point(Path(B)))
\mwedge{}  (\mlambda{}t.(snd(g@t))  \mmember{}  Point(Path(B)))
9.  \mforall{}f,t:Top.    (snd(f@t)  \msim{}  \mlambda{}t.(snd(f@t))@t)
10.  \mforall{}f,t:Top.    (fst(f@t)  \msim{}  \mlambda{}t.(fst(f@t))@t)
11.  \mlambda{}t.(fst(f@t))@r1  \mequiv{}  \mlambda{}t.(fst(g@t))@r0
12.  \mlambda{}t.(snd(f@t))@r1  \mequiv{}  \mlambda{}t.(snd(g@t))@r0
13.  ha  :  Point(Path(A))
14.  path-comp-rel(A;\mlambda{}t.(fst(f@t));\mlambda{}t.(fst(g@t));ha)
15.  hb  :  Point(Path(B))
16.  path-comp-rel(B;\mlambda{}t.(snd(f@t));\mlambda{}t.(snd(g@t));hb)
17.  \mlambda{}t.<ha@t,  hb@t>  \mmember{}  Point(Path(A  \mtimes{}  B))
\mvdash{}  \mexists{}h:Point(Path(A  \mtimes{}  B)).  path-comp-rel(A  \mtimes{}  B;f;g;h)


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}t.<ha@t,  hb@t>\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index