---

Step * of Lemma path-in-union

No Annotations
∀[A,B:SeparationSpace].
  ∀f:Point(Path(A + B))
    (((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))) ∧ (λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))))
    ∨ ((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B)))))
BY
{ (Auto
   THEN ((Assert ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹) BY
                (Auto THEN (GenConclTerm ⌜f@x⌝⋅ THENA Auto) THEN RepUR ``ss-point union-ss mk-ss`` -2 THEN Auto))
         THEN (Assert ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹) BY
                     (Auto THEN (GenConclTerm ⌜f@x⌝⋅ THENA Auto) THEN RepUR ``ss-point union-ss mk-ss`` -2 THEN Auto))
         )
   THEN (InstLemma `extensional-interval-to-bool-constant` [⌜r0⌝;⌜r1⌝;⌜λ2x.isl(f@x)⌝]⋅
         THENA (Auto THEN (InstLemma `path-at_functionality` [⌜A + B⌝;⌜f⌝;⌜x⌝;⌜y⌝]⋅ THENA Auto))
         )) }

1
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : Point(Path(A + B))
4. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
6. x : {x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} 
7. y : {x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} 
8. x = y
9. f@x ≡ f@y
⊢ isl(f@x) = isl(f@y)

2
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. f : Point(Path(A + B))
4. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
⊢ ((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))) ∧ (λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))))
∨ ((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[A,B:SeparationSpace].
    \mforall{}f:Point(Path(A  +  B))
        (((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outl(f  x)  \mmember{}  Point(Path(A))))
        \mvee{}  ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outr(f  x)  \mmember{}  Point(Path(B)))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  ((Assert  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isl(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})  BY
                            (Auto
                              THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f@x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                              THEN  RepUR  ``ss-point  union-ss  mk-ss``  -2
                              THEN  Auto))
              THEN  (Assert  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isr(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})  BY
                                      (Auto
                                        THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f@x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                                        THEN  RepUR  ``ss-point  union-ss  mk-ss``  -2
                                        THEN  Auto))
              )
  THEN  (InstLemma  `extensional-interval-to-bool-constant`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.isl(f@x)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  (InstLemma  `path-at\_functionality`  [\mkleeneopen{}A  +  B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))
              ))

---

Home Index