---

Step * 2 of Lemma path-in-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. f : Point(Path(A + B))
4. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
⊢ ((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))) ∧ (λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))))
∨ ((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))))
BY
{ (Assert (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))) ∨ (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) BY
         (((BoolCase ⌜isl(f@r0)⌝⋅ THENA Auto) THENL [OrLeft; OrRight])
          THEN Auto
          THEN (Assert isl(f@x) = isl(f@r0) BY
                      Auto)
          THEN Auto)) }

1
.....aux..... 
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : Point(Path(A + B))
4. ¬↑isl(f@r0)
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
8. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
9. isl(f@x) = isl(f@r0)
⊢ ↑isr(f@x)

2
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. f : Point(Path(A + B))
4. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
7. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))) ∨ (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x)))
⊢ ((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))) ∧ (λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))))
∨ ((∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  f  :  Point(Path(A  +  B))
4.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isl(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isr(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    isl(f@x)  =  isl(f@y)
\mvdash{}  ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outl(f  x)  \mmember{}  Point(Path(A))))
\mvee{}  ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outr(f  x)  \mmember{}  Point(Path(B))))


By

---

Latex:
(Assert  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x)))
              \mvee{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x)))  BY
              (((BoolCase  \mkleeneopen{}isl(f@r0)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THENL  [OrLeft;  OrRight])
                THEN  Auto
                THEN  (Assert  isl(f@x)  =  isl(f@r0)  BY
                                        Auto)
                THEN  Auto))

---

Home Index