---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma lattice-extend-wc-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. as : fset(fset(T))
7. bs : fset(fset(T))
8. ∀a,b:Point(L).  Dec(a = b ∈ Point(L))
9. ∀a,b:Point(L).  Dec(a ≤ b)
10. fset-ac-le(eq;as;bs)
11. ∀a:fset(T). (a ∈ as ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ bs ∧ b ⊆ a)))
12. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[x:Point(L)].  x ≤ \/(s) supposing x ∈ s
13. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[u:Point(L)].  ((∀x:Point(L). (x ∈ s ⇒ x ≤ u)) ⇒ \/(s) ≤ u)
14. x : Point(L)
15. ↓∃x1:fset(T). (x1 ∈ as ∧ (x = /\(f"(x1)) ∈ Point(L)))
⊢ x ≤ \/(λxs./\(f"(xs))"(bs))
BY
{ (D -1
   THEN (Unhide THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (FHyp (-7) [-2] THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (Unhide THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (HypSubst' (-4) 0 THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. as : fset(fset(T))
7. bs : fset(fset(T))
8. ∀a,b:Point(L).  Dec(a = b ∈ Point(L))
9. ∀a,b:Point(L).  Dec(a ≤ b)
10. fset-ac-le(eq;as;bs)
11. ∀a:fset(T). (a ∈ as ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ bs ∧ b ⊆ a)))
12. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[x:Point(L)].  x ≤ \/(s) supposing x ∈ s
13. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[u:Point(L)].  ((∀x:Point(L). (x ∈ s ⇒ x ≤ u)) ⇒ \/(s) ≤ u)
14. x : Point(L)
15. x1 : fset(T)
16. x1 ∈ as
17. x = /\(f"(x1)) ∈ Point(L)
18. b : fset(T)
19. b ∈ bs
20. b ⊆ x1
⊢ /\(f"(x1)) ≤ \/(λxs./\(f"(xs))"(bs))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  L  :  BoundedDistributiveLattice
4.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
6.  as  :  fset(fset(T))
7.  bs  :  fset(fset(T))
8.  \mforall{}a,b:Point(L).    Dec(a  =  b)
9.  \mforall{}a,b:Point(L).    Dec(a  \mleq{}  b)
10.  fset-ac-le(eq;as;bs)
11.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  as  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}b:fset(T).  (b  \mmember{}  bs  \mwedge{}  b  \msubseteq{}  a)))
12.  \mforall{}[s:fset(Point(L))].  \mforall{}[x:Point(L)].    x  \mleq{}  \mbackslash{}/(s)  supposing  x  \mmember{}  s
13.  \mforall{}[s:fset(Point(L))].  \mforall{}[u:Point(L)].    ((\mforall{}x:Point(L).  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  x  \mleq{}  u))  {}\mRightarrow{}  \mbackslash{}/(s)  \mleq{}  u)
14.  x  :  Point(L)
15.  \mdownarrow{}\mexists{}x1:fset(T).  (x1  \mmember{}  as  \mwedge{}  (x  =  /\mbackslash{}(f"(x1))))
\mvdash{}  x  \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}xs./\mbackslash{}(f"(xs))"(bs))


By

---

Latex:
(D  -1
  THEN  (Unhide  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (FHyp  (-7)  [-2]  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (Unhide  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (HypSubst'  (-4)  0  THENA  Auto))

---

Home Index